牛頓迭代法求解

牛頓迭代法又稱為牛頓-拉弗森方法，是牛頓在17世紀提出的一種在實數和複數域上近似求解方程的方法。

牛頓迭代法的操作簡單來說就是通過不斷取切線，然後通過切線再不斷逼近相應的解，廢話不多說，我們來看例子。

例如如下曲線 \(y=x^2-1\)。

我們在其上面任取一點，不妨取點\(a(2，3)\)，以該點做切線，切線方程為 \(y=4x-5\)，在圖中將該切線加上可得如下圖：

然後取其與x軸的交點\(b(1.25, 0)\)，可見，第一次做切線取到的根已經開始接近原曲線的其中乙個根，繼續以該點做垂線，交原曲線與點\(c(1.25,0.5625)\)，如圖：

以點\(c(1.25,0.5625)\)再一次做原曲線的切線，該切線交x軸於點\(d(1.025, 0)\)，如下圖，可見，相較於點 \(b\),和原曲線與x軸的交點\(e(1, 0)\)進一步接近。

同理，接下來繼續迭代，則通過不斷做切線，切線與x軸取交點，取到的近似解會與其真實解越來越接近。

巨集觀圖

微觀圖通過上面的推導，我們很容易能夠看出，所謂牛頓迭代法，就是不斷利用切線對其解不斷逼近，那麼我們就需要一次次求切線，切線的求法如下：

設曲線方程為 \(y=f(x)\)，可知其斜率為 \(y'=f'(x)\)，任意取一點 \((x_0, y_0)\) ，則該點處的切線方程為 \(y - f(x_0) = f'(x_0) * (x - x_0)\)，然後取切線與x軸的交點，故令 \(y_1 = 0\)，代入解得 \(x_1 = x_0 - \frac \)，\(x_1\)是在\(x_0\)的基礎上推出來的下乙個逼近的根，同理，在此迭代公式的基礎上繼續迭代即可，直到所要求的的精度達到要求。

（1）使用牛頓迭代法求解x^3 + 2x^2 + 3x + 4 = 0在1附近的根。

（2）使用牛頓迭代法求三次根號的解

#include #include using namespace std;
/* 使用牛頓迭代法求解x^3 + 2x^2 + 3x + 4 = 0在1附近的根
*/double fun(double x1) 
return x1;}/*
使用牛頓迭代法求三次根號的解 -> y = x^3 -> x^3 - y = 0 求解x
即求 f(x) = x^3 - a 的零點，其中a為待求三次根號的數
*/double cuberoot(double x) // 牛頓迭代法 f(x[n]) + f'(x[n])(x - x[n]) = 0
return yp;
}int main()

牛頓迭代法求解

牛頓迭代法

牛頓迭代法

牛頓迭代法

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