牛頓迭代法

牛頓迭代法求平方根和立方根：

（作者初學，文章有些粗略，請諒解。）

1 #include2

using
namespace
std;
3doublen;4
double sqrt(double x) 
13return
x;14}15
intmain() 

1 #include//

立方根2 #include3
求平方根：
為了方便理解，就先以本題為例：
計算x2 = n的解，令f(x)=x2-n，相當於求解f(x)=0的解，如左圖所示。
首先取x0，如果x0不是解，做乙個經過(x0,f(x0))這個點的切線，與x軸的交點為x1。
同樣的道理，如果x1不是解，做乙個經過(x1,f(x1))這個點的切線，與x軸的交點為x2。
以此類推。（迭代的起點要恰當）。
以這樣的方式得到的xi會無限趨近於f(x)=0的解。
判斷xi是否是f(x)=0的解有兩種方法：
一是直接計算f(xi)的值判斷是否為0，二是判斷前後兩個解xi和xi-1是否無限接近。
經過(xi, f(xi))這個點的切線方程為f(x) = f(xi) + f』(xi)(x - xi)，其中f'(x)為f(x)的導數，本題中為2x。令切線方程等於0，即可求出xi+1=xi - f(xi) / f'(xi)。
繼續化簡，xi+1=xi - (xi2 
- n) / (2xi) = xi - xi / 2 + n / (2xi) = xi / 2 + n / 2xi = (xi + n/xi) / 2。
(xi + n/xi) / 2尤其重要。
求立方根：
對於求a的立方根，可以設f(x)=x^3-a，從而轉換成求解f(x)=0，即求方程的根。
f(x)展開泰勒公式：f(x)=f(x0)+(x-x0)*f'(x0)=0，得出的x=x0-f(x0)/f'(x0)=g(x0)，此時遞迴呼叫該式子可以逐步接近於最終結果。
為什麼會接近於最終結果？當然，牛頓迭代並不是無條件收斂的。
首先，要保證f'(x0)!=0，這樣f(x)=0將等價於x=x-f(x)/f'(x)。而x_k+1=xk-f(xk)/f'(xk)=g(xk),由迭代過程收斂性定理可得abs(g'(xk))<=l<1(具體證明請讀者自行查詢)。
g'(x*)=f(x*)*f''(x*)/[f'(x)]^2,x*為f(x)的乙個根，所以g『(x*)=0,g''(x*)=f''(x*)/f'(x*)!=0,只要f』『(x*)!=0，則牛頓迭代法收斂。
牛頓迭代法相比起二分收斂快，**量少，但內容要深入理解。
（感謝qlky的解釋）
 
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