（擴充套件）BSGS

$\texttt$，即大步小步法，用於求解關於 $x$ 的形如 $a^x \equiv n(\bmod p) $ 的高次不定方程的最小非負整數解，其中 $a, b, p$ 為已經給出的常數且 $a, p$互質。

眾所周知bsgs=北上廣深=拔山蓋世

設 $x = a\lceil \sqrt \rceil - b$，其中 $0 \leq a,b \leq \lceil\sqrt\rceil$

得 $a^ \rceil - b} \equiv n(\bmod p)$

因為 $a, p$ 互質，所以在模 $p$ 意義下進行含 $a$ 的乘除運算沒有影響

$\therefore a^ \rceil} \equiv na^b(\bmod p)$

考慮用雜湊表預處理出所有 $na^b$ 的可能取值以及其對應的 $b$

再列舉 $a$ 的所有取值，假設雜湊表中存在 $a^ \rceil}$ 到 $t$ 的對映，則最小非負整數解為 $i \lceil \sqrt \rceil - t$

如果遍歷 $a$ 的所有取值都無法找到最小非負整數解，則原方程無解

時間複雜度為 $o(\sqrt)$，用map則多 $log$ 倍常數。

注意在模 $p$ 意義下，如果 $n = 1$ 或 $p = 1$，則原方程的最小非負整數解為 $0$；如果 $a = 0$，若 $n = 0$，原方程的最小非負整數解為 $1$，反之原方程無解

注意map的時間複雜度為 $log$ 但不會發生雜湊衝突，$\mathcal(1)$ 的unordered_map可能有雜湊衝突。卡常可以考慮手寫雜湊

p3846 [tjoi2007] 可愛的質數/【模板】bsgs

#include #include #include using namespace std;
typedef long long ll;
mapmp;
ll fpow(ll a, ll b, ll mod)
return res;
}ll bsgs(ll a, ll n, ll p)
int main()

擴充套件 $\texttt$（$\tt exbsgs$），用於求解關於 $x$ 的形如 $a^x \equiv n(\bmod p)$ 的高次同餘方程的最小非負整數解，其中 $a, b, p$ 為常數且 $a, p$不一定互質。

考慮將方程化為某種形式，使得 $a, p$ 互質。

原方程可以等價地寫成 $a^x + kp = n, k \in \mathbb$

設 $\gcd(a, p) = d$，根據裴蜀定理知，原方程有解當且僅當 $d \mid n$，反之原方程無解。

若原方程有解，則其可進一步化為 $\frac + k \frac = \frac$

即 $a^ \frac + k \frac = \frac$

此時 $a^ \rightarrow a^x, \frac \rightarrow p, \frac \rightarrow n$

遞迴重複若干次，使得 $\gcd(a, p) = 1$

設此時共遞迴了 $k$ 次，$k$ 次遞迴中的 $d$ 乘積為 $d^$

則 $a^ \frac} \equiv \frac}(\bmod \frac})\ (1)$

用 $\tt bsgs$ 求出方程 $a^ \equiv \frac}(\bmod \frac})$ 的最小非負整數解 $x^$

則此時原方程的最小非負整數解為 $x^ + k$

注意 $(1)$ 式中有係數 $\frac}$ 需要乘上，需要作為引數傳入bsgs函式

詳見**

p4195 【模板】擴充套件 bsgs/exbsgs

#include #include #include using namespace std;
typedef long long ll;
ll a, p, n;
mapmp;
ll gcd(ll a, ll b)
ll fpow(ll a, ll b, ll mod)
return res;
}ll bsgs(ll a, ll n, ll p, ll ad)
ll exbsgs(ll a, ll n, ll p)
ll ans = bsgs(a, n, p, ad);
if (ans == -1)
return -1;
return ans + cnt;
}int main()
return 0;
}

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