並不知道這個blog會被我用來記什麼，但這個**我搗鼓了挺長時間。最近又在實驗室做了一堆家務，不如寫點物理的東西。
這是翟薈老師的冷原子物理的第乙個作業。
considering an electron with coulomb interaction between electron and nucleus, the hamiltonian is given by
\]and considering the laplace–runge–lene vector defined as
\]show that \([\hat}, \hat]\) = 0. this operator \(\hat}\) and the angular momentum operator \(\hat\) together form the \(so(4)\) algebra. this only works for the coulomb potential.
we ignore the "hat" below. always keep in mind all observables are operator.
to calculate the commutator \([\bold,h]\), we first calculate the following terms:
\[\begin
\left[(p \times l)_i, p^2\right] &= [\epsilon_ p_k l_l, p_j p_j] \\
&= [\epsilon_ \epsilon_ p_k r_m p_n, p_j p_j] \\
&= [(\delta_\delta_ - \delta_\delta_) p_k r_m p_n, p_j p_j] \\
&= [p_k r_i p_k, p_j p_j] - [p_k r_k p_i, p_j p_j] \\
&= p_k [r_i, p_j p_j] p_k - p_k [r_k, p_j p_j] p_i \\
&= p_k (2\mathrm\hbar p_i) p_k - p_k (2\mathrm\hbar p_k) p_i \\
&= 0
\end\]
\[\begin
\left[(l \times p)_i, p^2\right] &= [\epsilon_ l_k p_l, p_j p_j] \\
&= [\epsilon_ \epsilon_ r_m p_n p_l, p_j p_j] \\
&= [r_l p_i p_l, p_j p_j] - [r_i p_l p_l, p_j p_j] \\
&= (2\mathrm\hbar p_l) p_i p_l - (2\mathrm\hbar p_i) p_l p_l \\
&= 0
\end\]
\[[p_i, r] = - \mathrm\hbar \frac
\]\[[p_i, \frac] = \mathrm\hbar \frac
\]\[\begin
\left[\frac, p^2\right] &= [r_i,p^2]\frac + r_i \left[\frac,p^2 \right] \\
&= 2\mathrm\hbar p_i \frac + r_i \left(\left[\frac,p_j \right] p_j + p_j \left[\frac,p_j \right] \right) \\
&= 2\mathrm\hbar p_i \frac - \mathrm\hbar \left( \frac p_j + r_i p_j \frac\right)
\end\]
\[\begin
\left[(p \times l)_i, \frac \right] &= \left[p_k r_i p_k, \frac\right] - \left[p_k r_k p_i, \frac \right] \\
&= \left(\left[p_k, \frac\right] r_i p_k + p_k r_i\left[p_k, \frac\right] \right) - \left(\left[p_k, \frac\right] r_k p_i + p_k r_k\left[p_i, \frac\right] \right) \\
&= \mathrm\hbar \left(\frac r_i p_k + p_k r_i \frac \right) - \mathrm\hbar \left(\frac r_k p_i + p_k r_k \frac \right) \\
&= \mathrm\hbar \left(\fracp_k \right) - \mathrm\hbar \frac p_i
\end\]
\[\begin
\left[(l \times p)_i, \frac \right] &= \left[r_l p_i p_l, \frac\right] - \left[r_i p_l p_l, \frac \right] \\
&= \left(r_l \left[p_i, \frac\right] p_l + r_l p_i \left[p_l, \frac\right] \right) - \left(r_i \left[p_l, \frac\right] p_l + r_i p_l \left[p_l, \frac\right] \right) \\
&= \mathrm\hbar \left(r_l p_i \frac - \frac p_l \right)
\end\]
\[\left[\frac, \frac \right] = 0
\]note that
\[\mathrm\hbar \frac p_i = \mathrm\hbar p_i \frac + \mathrm\hbar \left[\frac, p_i \right] = \mathrm\hbar \left(p_i \frac - \mathrm\hbar \frac \right)
\]\[\mathrm\hbar r_l p_i \frac = \mathrm\hbar \left(p_i r_l \frac + \mathrm\hbar \frac \right) = \mathrm\hbar \left(p_i \frac + \mathrm\hbar \frac \right)
\]further, we can verify that \(\left[p_k, \frac \right] = \left[p_k, r_k \right]\frac + r_k \left[p_k, \frac \right] = 0\), hence \(\fracp_k = p_k \frac\).
so the commutator
\[\begin
&\propto \left[\frac, p^2\right] + \left[(p \times l)_i, \frac\right] - \left[(l \times p)_i, \frac\right] \\
&= 2\mathrm\hbar p_i \frac - \mathrm\hbar \left( \frac p_j + r_i p_j \frac\right) \\
&\quad + \mathrm\hbar \left(\fracp_k \right) - \mathrm\hbar \frac p_i - \mathrm\hbar \left(r_l p_i \frac - \frac p_l \right) \\
&= \left(2\mathrm\hbar p_i \frac - \mathrm\hbar \frac p_i - \mathrm\hbar r_l p_i \frac \right) + \left(\mathrm\hbar \frac p_l - \mathrm\hbar r_i p_j \frac\right) \\
&= 0
\end\]
is always zero, meaning the laplace-runge-lenz vector is conserved under coulomb potential.
當然也有經典的版本，把所有的對易子換成泊松括號(poisson bracket)即可。
（選了這課的同學不要照抄作業啊kora
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