最小生成樹（詳解）

最小生成樹和最短路還是區別很大的，所以又雙叒來寫了。

最小生成樹問題顧名思義，概括來說就是路修的最短。

接下來引入幾個一看就明白的定義：

帶權圖：邊賦以權值的圖稱為網或帶權圖，帶權圖的生成樹也是帶權的，生成樹t各邊的權值總和稱為該樹的權。

最小生成樹（mst）：權值最小的生成樹。

最小生成樹的性質：假設g＝(v,e)是乙個連通網，u是頂點v的乙個非空子集。若(u,v)是一條具有最小權值的邊，其中u∈u，v∈v－u，則必存在一棵包含邊(u,v)的最小生成樹。

完成構造網的最小生成樹必須解決下面兩個問題：

（1）盡可能選取權值小的邊，但不能構成迴路；（2）選取n－1條恰當的邊以連通n個頂點；

kruskal遠離更為簡單粗暴，但是需要借助並查集這一知識。

克魯斯卡爾演算法的基本思想是以邊為主導地位，始終選擇當前可用的最小邊權的邊（可以直接快排或者algorithm的sort）。每次選擇邊權最小的邊鏈結兩個端點是kruskal的規則，並實時判斷兩個點之間有沒有間接聯通。

現在我來模擬一下:

假如有以下幾個城市，之間都有相連的道路：

根據kruskal的原理，我們需要對邊權dis進行排序，每次找出最小的邊。

排序後，最小的邊自然是第8條邊，於是4和6相連。

遍歷繼續，第二小的邊是1號，1和2聯通。

再後來是邊3連線1,4。

dis也是14的還有邊5，它連線3,4。

其次是dis為15的邊4，但是2和4已經相連了，pass。

然後是dis為16的兩條邊（邊2和邊9），邊2連線1和3，邊9連線3和6，它們都已經間接相連，pass。

再然後就是dis為22的邊10，它連線5和6，5還沒有加入組織，所以使用這邊。繼續，發現此時已經連線了n-1條邊，結束，最後圖示如下：

給定乙個 n 個點 m 條邊的無向圖，圖中可能存在重邊和自環，邊權可能為負數。求最小生成樹的樹邊權重之和，如果最小生成樹不存在則輸出 impossible。給定一張邊帶權的無向圖 g=(v,e)，其中 v 表示圖中點的集合，e 表示圖中邊的集合，n=|v|，m=|e|。由 v 中的全部 n 個頂點和 e 中 n-1 條邊構成的無向連通子圖被稱為 g 的一棵生成樹，其中邊的權值之和最小的生成樹被稱為無向圖 g 的最小生成樹。輸入格式第一行包含兩個整數 n 和 m。接下來 m 行，每行包含三個整數 u,v,w，表示點 u 和點 v 之間存在一條權值為 w 的邊。輸出格式共一行，若存在最小生成樹，則輸出乙個整數，表示最小生成樹的樹邊權重之和，如果最小生成樹不存在則輸出 impossible。資料範圍 1≤n≤105, 1≤m≤2*105, 圖中涉及邊的邊權的絕對值均不超過 1000。輸入樣例： 4 51 2 1 1 3 2 1 4 3 2 3 2 3 4 4 輸出樣例：

6

#include #include #include using namespace std;
const int n = 100010, m = 200010, inf = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
int p[n];
struct edge
}edges[m];
int find(int x)
int kruskal()
}if (cnt < n - 1) return inf;
return res;
}int main()
; }
int t = kruskal();
if (t == inf) puts("impossible");
else printf("%d\n", t);
return 0;
}

運算方法是任取乙個點，以這個點為集合開始，然後對所有點與這個點的距離進行更新，找出離這個集合最近的點，然後把這個點放進這個集合（所以每一次運算的時候都要判斷一下這個點是否在這個集合裡，所有要用到乙個vister陣列），然後再以這個集合繼續尋找離這個集合最近的點，直到沒有點存在。

給定乙個 n 個點 m 條邊的無向圖，圖中可能存在重邊和自環，邊權可能為負數。求最小生成樹的樹邊權重之和，如果最小生成樹不存在則輸出 impossible。給定一張邊帶權的無向圖 g=(v,e)，其中 v 表示圖中點的集合，e 表示圖中邊的集合，n=|v|，m=|e|。由 v 中的全部 n 個頂點和 e 中 n-1 條邊構成的無向連通子圖被稱為 g 的一棵生成樹，其中邊的權值之和最小的生成樹被稱為無向圖 g 的最小生成樹。輸入格式第一行包含兩個整數 n 和 m。接下來 m 行，每行包含三個整數 u,v,w，表示點 u 和點 v 之間存在一條權值為 w 的邊。輸出格式共一行，若存在最小生成樹，則輸出乙個整數，表示最小生成樹的樹邊權重之和，如果最小生成樹不存在則輸出 impossible。資料範圍 1≤n≤500, 1≤m≤105, 圖中涉及邊的邊權的絕對值均不超過 10000。輸入樣例： 4 51 2 1 1 3 2 1 4 3 2 3 2 3 4 4 輸出樣例：

6

#include #include #include using namespace std;
const int n = 510, inf = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
int g[n][n];
int dist[n];
bool st[n];
int prim()
return res;
}int main()
int t = prim();
if (t == inf) puts("impossible");
else printf("%d\n", t);
return 0;
}

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