兩個正整數的最大公約數（greatest common divisor,gcd）在計算機中通常使用輾轉相除法計算，最小公倍數（least common multiple, lcm）可以使用gcd來計算。下面首先介紹gcd和lcm。然後介紹輾轉相除法的計算形式，並證明為什麼可以得出gcd。
若正整數$\$的gcd為$r$，則$\$互質（gcd為1）。
假設正整數$\$的gcd為$r$，則它們可以被表示為$\$。若$\$不互質，有最大公約數$r_1\ne 1$，則$\$的最大公約數為$r_1r$與假設不符。
顯然成立：一系列正整數除以某一數，如果結果互質，則這個數是這些正整數的gcd。
任意正整數$\$都可以被它們對應的所有質因子的乘積表示。將它們所有質因子分別表示為集合$a_1,a_2,...,a_n$（給重複質因子加下標），則它們的最大公約數的質因子為
$\begin&a_1\cap a_2\cap...\cap a_n\\=&(...((a_1\cap a_2)\cap a_3)\cap...)\cap a_n\end$
因此多個數的gcd可以通過，兩兩數之間的gcd迭代求出。兩個正整數的gcd則可以使用輾轉相除法解決。
若正整數$\$的lcm為$r$，則$\$互質。
假設$\$的lcm為$r$，若$\$不互質，有公因子$r$，則有更小的公倍數$r/r$，與假設不符。
對於正整數$\$，假設存在正整數$r_1\ne r_2$，使得$\$互質，且$\$互質。
若$r_1/r_2=k$為正整數，則
$\=\$
有$k$為因子，不互質，與假設不符。
若$r_1/r_2=k$不是整數，則
$\=\$
不是正整數，與假設不符（互質前提是正整數）。
綜上不可能存在兩個或以上不同的$r$，使得$\$互質。
又由於最小公倍數$r$一定存在，使得$\$互質。所以這樣的$r$只存在乙個，且是lcm。
上面證明得出，對於正整數$\$，只要獲得某個$r$，使得$\$互質，這個$r$就是lcm。
將正整數表示為gcd和對應互質數的乘積
$\=\$
令$r=p_1p_2...p_nr$，可以發現$\$互質（證明寫下面）。因此$\$的lcm為
$\displaystyle r=p_1p_2...p_nr=\frac}$
將$\$的所有質因子分別表示為集合$a_1,a_2,...,a_n$，顯然有$a_1\cap a_2\cap...\cap a_n=\varnothing$。設全集$e=a_1\cup a_2\cup...\cup a_n$，則$\$的質因子集合為$\sim a_1,\sim a_2,...,\sim a_n$。由於
$\begin&\sim a_1\cap\sim a_2\cap...\cap\sim a_n\\=&\sim(a_1\cup a_2\cup...\cup a_n)\\=&\sim e\\=&\varnothing\end$
所以$\$互質。
輾轉相除法通過迭代計算兩個正整數的gcd。每次用較小數對較大數取餘，然後將較小數賦值到較大數，餘數賦值到較小數，直到餘數為0，此時較小數為最大公約數。
計算319，377的最大公約數（演算法迭代過程）：
迭代 較大數
較小數
餘數 0
-377
3191
377319582
31958293
5829
0得出最大公約數為29。
假設正整數$a>b$，計算它們的最大公約數。首先計算出它們的餘數$t$：
$a \, \text\, b = t$
則$a$可以表示為：
$a=pb+t$
其中$p$為$a/b$的正整數商。若$t=0$，則顯然$b$為$a,b$的最大公約數。若$t\neq 0$，我們只需證明$\$與$\$有相同的最大公約數，迭代就可以進行下去。
將$\$的公約數表示為$r_1\in r_1$，$r_1=\$，則有：
$t =a-pb= p_ar_1-pp_br_1=(p_a-pp_b)r_1$
顯然$\$的公約數$r_1$也是$t$的約數，因而$r_1$是$\$的公約數，有$r_1\subseteq r$，$r=\$。又因為$\$的公約數一定是$\$的公約數，所以有$r\subseteq r_1$。因此$r_1=r$。
將$\$的公約數表示為$r_2\in r_2$，$r_2=\$，則有：
$a =pb+t= pp_r_2+p_tr_2=(pp_+p_t)r_2$
顯然$\$的公約數$r_2$也是$a$的約數，因而$r_2$是$\$的公約數，有$r_2\subseteq r$。與上同理，得出$r_2 = r$。
於是$r_1=r=r2$，因此，$\$與$\$有相同的最大公約數。
習題4 7 最大公約數和最小公倍數（輾轉相除法）
本題要求兩個給定正整數的最大公約數和最小公倍數。輸入在一行中給出兩個正整數m和n 1000 在一行中順序輸出m和n的最大公約數和最小公倍數，兩數字間以1空格分隔。511 29273 2044法一 直接翻譯最小公倍數和最大公約數的數學意思。include int main void 最大公約數 m除以...
輾轉相除法求最大公倍數和最小公約數
這是我的第一篇部落格。希望自己以後也能堅持下去，來記錄我學習c 的一些歷程。今天做acm題，是求最小公倍數和最大公因數的。用輾轉相除法做。我一開始用int型，發現測試普通資料時均得出正確答案。但是用題目中的測試資料30000000，50000000的時候，最大公約數是沒有問題，但最大公倍數顯示是負數...
最大公約數 最小公倍數
求最大公約數最直接的辦法是從兩數中較小數與2之間的所有整數中乙個乙個的找。但這個方法有點浪費。有兩種有名的方法 1.輾轉相除法2.更相減損之術這兩種方法比較有名，而且現在人教版的高中數學中已經介紹了這兩種方法。下面這個是第2個，因為它只需要加減法就可以，效率高。int maxfactor unsig...