常用演算法設計方法 四 遞迴

2021-04-19 06:31:54 字數 2901 閱讀 5243

遞迴是設計和描述演算法的一種有力的工具,由於它在複雜演算法的描述中被經常採用,為此在進一步介紹其他演算法設計方法之前先討論它。

能採用遞迴描述的演算法通常有這樣的特徵:為求解規模為n的問題,設法將它分解成規模較小的問題,然後從這些小問題的解方便地構造出大問題的解,並且這些規模較小的問題也能採用同樣的分解和綜合方法,分解成規模更小的問題,並從這些更小問題的解構造出規模較大問題的解。特別地,當規模n=1時,能直接得解。

【問題】   編寫計算斐波那契(fibonacci)數列的第n項函式fib(n)。

斐波那契數列為:0、1、1、2、3、……,即:

fib(0)=0;

fib(1)=1;

fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)      (當n>1時)。

寫成遞迴函式有:

int fib(int n)

遞迴演算法的執行過程分遞推和回歸兩個階段。在遞推階段,把較複雜的問題(規模為n)的求解推到比原問題簡單一些的問題(規模小於n)的求解。例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是說,為計算fib(n),必須先計算fib(n-1)和fib(n-2),而計算fib(n-1)和fib(n-2),又必須先計算fib(n-3)和fib(n-4)。依次類推,直至計算fib(1)和fib(0),分別能立即得到結果1和0。在遞推階段,必須要有終止遞迴的情況。例如在函式fib中,當n為1和0的情況。

在回歸階段,當獲得最簡單情況的解後,逐級返回,依次得到稍複雜問題的解,例如得到fib(1)和fib(0)後,返回得到fib(2)的結果,……,在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的結果後,返回得到fib(n)的結果。

在編寫遞迴函式時要注意,函式中的區域性變數和引數知識侷限於當前呼叫層,當遞推進入「簡單問題」層時,原來層次上的引數和區域性變數便被隱蔽起來。在一系列「簡單問題」層,它們各有自己的引數和區域性變數。

由於遞迴引起一系列的函式呼叫,並且可能會有一系列的重複計算,遞迴演算法的執行效率相對較低。當某個遞迴演算法能較方便地轉換成遞推演算法時,通常按遞推演算法編寫程式。例如上例計算斐波那契數列的第n項的函式fib(n)應採用遞推演算法,即從斐波那契數列的前兩項出發,逐次由前兩項計算出下一項,直至計算出要求的第n項。

【問題】   組合問題

問題描述:找出從自然數1、2、……、n中任取r個數的所有組合。例如n=5,r=3的所有組合為:   (1)5、4、3      (2)5、4、2      (3)5、4、1

(4)5、3、2      (5)5、3、1      (6)5、2、1

(7)4、3、2      (8)4、3、1      (9)4、2、1

(10)3、2、1

分析所列的10個組合,可以採用這樣的遞迴思想來考慮求組合函式的演算法。設函式為void  comb(int m,int k)為找出從自然數1、2、……、m中任取k個數的所有組合。當組合的第乙個數字選定時,其後的數字是從餘下的m-1個數中取k-1數的組合。這就將求m個數中取k個數的組合問題轉化成求m-1個數中取k-1個數的組合問題。設函式引入工作陣列a[ ]存放求出的組合的數字,約定函式將確定的k個數字組合的第乙個數字放在a[k]中,當乙個組合求出後,才將a[ ]中的乙個組合輸出。第乙個數可以是m、m-1、……、k,函式將確定組合的第乙個數字放入陣列後,有兩種可能的選擇,因還未去頂組合的其餘元素,繼續遞迴去確定;或因已確定了組合的全部元素,輸出這個組合。細節見以下程式中的函式comb。

【程式】

# include   

# define   maxn   100

int   a[maxn];

void   comb(int m,int k) }

} void main()

【問題】   揹包問題

問題描述:有不同價值、不同重量的物品n件,求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案,使選中物品的總重量不超過指定的限制重量,但選中物品的價值之和最大。

設n件物品的重量分別為w0、w1、…、wn-1,物品的價值分別為v0、v1、…、vn-1。採用遞迴尋找物品的選擇方案。設前面已有了多種選擇的方案,並保留了其中總價值最大的方案於陣列option[ ],該方案的總價值存於變數maxv。當前正在考察新方案,其物品選擇情況儲存於陣列cop[ ]。假定當前方案已考慮了前i-1件物品,現在要考慮第i件物品;當前方案已包含的物品的重量之和為tw;至此,若其餘物品都選擇是可能的話,本方案能達到的總價值的期望值為tv。演算法引入tv是當一旦當前方案的總價值的期望值也小於前面方案的總價值maxv時,繼續考察當前方案變成無意義的工作,應終止當前方案,立即去考察下乙個方案。因為當方案的總價值不比maxv大時,該方案不會被再考察,這同時保證函式後找到的方案一定會比前面的方案更好。

對於第i件物品的選擇考慮有兩種可能:

(1)   考慮物品i被選擇,這種可能性僅當包含它不會超過方案總重量限制時才是可行的。選中後,繼續遞迴去考慮其餘物品的選擇。

(2)   考慮物品i不被選擇,這種可能性僅當不包含物品i也有可能會找到價值更大的方案的情況。

按以上思想寫出遞迴演算法如下:

try(物品i,當前選擇已達到的重量和,本方案可能達到的總價值tv)

a[n];

int   n;

void find(int i,double tw,double tv)

/*考慮物品i不包含在當前方案中的可能性*/

if (tv-a.value>maxv)

if (i.value);

else }

void main()

a[n];

int   k,n;

struct   twv[n];

void next(int i,double tw,double tv)

double find(struct ele *a,int n)

else

else

{   maxv=tv-a.value;

for (k=0;k

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