四、遞迴
遞迴是設計和描述演算法的一種有力的工具，由於它在複雜演算法的描述中被經常採用，為此在進一步介紹其他演算法設計方法之前先討論它。
能採用遞迴描述的演算法通常有這樣的特徵：為求解規模為n的問題，設法將它分解成規模較小的問題，然後從這些小問題的解方便地構造出大問題的解，並且這些規模較小的問題也能採用同樣的分解和綜合方法，分解成規模更小的問題，並從這些更小問題的解構造出規模較大問題的解。特別地，當規模n=1時，能直接得解。
【問題】 編寫計算斐波那契（fibonacci）數列的第n項函式fib（n）。
斐波那契數列為：0、1、1、2、3、……，即：
fib(0)=0;
fib(1)=1;
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) （當n>1時）。
寫成遞迴函式有：
int fib(int n)
遞迴演算法的執行過程分遞推和回歸兩個階段。在遞推階段，把較複雜的問題（規模為n）的求解推到比原問題簡單一些的問題（規模小於n）的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是說，為計算fib(n)，必須先計算fib(n-1)和fib(n-2)，而計算fib(n-1)和fib(n-2)，又必須先計算fib(n-3)和fib(n-4)。依次類推，直至計算fib(1)和fib(0)，分別能立即得到結果1和0。在遞推階段，必須要有終止遞迴的情況。例如在函式fib中，當n為1和0的情況。
在回歸階段，當獲得最簡單情況的解後，逐級返回，依次得到稍複雜問題的解，例如得到fib(1)和fib(0)後，返回得到fib(2)的結果，……，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的結果後，返回得到fib(n)的結果。
在編寫遞迴函式時要注意，函式中的區域性變數和引數知識侷限於當前呼叫層，當遞推進入「簡單問題」層時，原來層次上的引數和區域性變數便被隱蔽起來。在一系列「簡單問題」層，它們各有自己的引數和區域性變數。
由於遞迴引起一系列的函式呼叫，並且可能會有一系列的重複計算，遞迴演算法的執行效率相對較低。當某個遞迴演算法能較方便地轉換成遞推演算法時，通常按遞推演算法編寫程式。例如上例計算斐波那契數列的第n項的函式fib(n)應採用遞推演算法，即從斐波那契數列的前兩項出發，逐次由前兩項計算出下一項，直至計算出要求的第n項。
【問題】 組合問題
問題描述：找出從自然數1、2、……、n中任取r個數的所有組合。例如n=5，r=3的所有組合為： （1）5、4、3 （2）5、4、2 （3）5、4、1
（4）5、3、2 （5）5、3、1 （6）5、2、1
（7）4、3、2 （8）4、3、1 （9）4、2、1
（10）3、2、1
分析所列的10個組合，可以採用這樣的遞迴思想來考慮求組合函式的演算法。設函式為void comb(int m,int k)為找出從自然數1、2、……、m中任取k個數的所有組合。當組合的第乙個數字選定時，其後的數字是從餘下的m-1個數中取k-1數的組合。這就將求m個數中取k個數的組合問題轉化成求m-1個數中取k-1個數的組合問題。設函式引入工作陣列a[ ]存放求出的組合的數字，約定函式將確定的k個數字組合的第乙個數字放在a[k]中，當乙個組合求出後，才將a[ ]中的乙個組合輸出。第乙個數可以是m、m-1、……、k，函式將確定組合的第乙個數字放入陣列後，有兩種可能的選擇，因還未去頂組合的其餘元素，繼續遞迴去確定；或因已確定了組合的全部元素，輸出這個組合。細節見以下程式中的函式comb。
【程式】
# include
# define maxn 100
int a[maxn];
void comb(int m,int k)
} }
void main()
【問題】 揹包問題
問題描述：有不同價值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價值之和最大。
設n件物品的重量分別為w0、w1、…、wn-1，物品的價值分別為v0、v1、…、vn-1。採用遞迴尋找物品的選擇方案。設前面已有了多種選擇的方案，並保留了其中總價值最大的方案於陣列option[ ]，該方案的總價值存於變數maxv。當前正在考察新方案，其物品選擇情況儲存於陣列cop[ ]。假定當前方案已考慮了前i-1件物品，現在要考慮第i件物品；當前方案已包含的物品的重量之和為tw；至此，若其餘物品都選擇是可能的話，本方案能達到的總價值的期望值為tv。演算法引入tv是當一旦當前方案的總價值的期望值也小於前面方案的總價值maxv時，繼續考察當前方案變成無意義的工作，應終止當前方案，立即去考察下乙個方案。因為當方案的總價值不比maxv大時，該方案不會被再考察，這同時保證函式後找到的方案一定會比前面的方案更好。
對於第i件物品的選擇考慮有兩種可能：
（1） 考慮物品i被選擇，這種可能性僅當包含它不會超過方案總重量限制時才是可行的。選中後，繼續遞迴去考慮其餘物品的選擇。
（2） 考慮物品i不被選擇，這種可能性僅當不包含物品i也有可能會找到價值更大的方案的情況。
按以上思想寫出遞迴演算法如下：
try(物品i，當前選擇已達到的重量和，本方案可能達到的總價值tv)
a[n];
int n;
void find(int i,double tw,double tv)
a[n];
int k,n;
struct twv[n];
void next(int i,double tw,double tv)
double find(struct ele *a,int n)
else
break; }
} return maxv; }
void main()
常用演算法設計方法 四 遞迴
遞迴是設計和描述演算法的一種有力的工具，由於它在複雜演算法的描述中被經常採用，為此在進一步介紹其他演算法設計方法之前先討論它。能採用遞迴描述的演算法通常有這樣的特徵 為求解規模為n的問題，設法將它分解成規模較小的問題，然後從這些小問題的解方便地構造出大問題的解，並且這些規模較小的問題也能採用同樣的分...
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演算法分析設計 遞迴演算法
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