採藥
【問題描述】
辰辰是個天資聰穎的孩子，他的夢想是成為世界上最偉大的醫師。為此，他想拜附近最有威望的醫師為師。醫師為了判斷他的資質，給他出了乙個難題。醫師把他帶到乙個到處都是草藥的山洞裡對他說：「孩子，這個山洞裡有一些不同的草藥，採每一株都需要一些時間，每一株也有它自身的價值。我會給你一段時間，在這段時間裡，你可以採到一些草藥。如果你是乙個聰明的孩子，你應該可以讓採到的草藥的總價值最大。」 如果你是辰辰，你能完成這個任務嗎？
【輸入檔案】
輸入檔案medic.in的第一行包含兩個正整數n,m。m表示總共能夠用來採藥的時間，n代表山洞裡的草藥的數目。接下來的n行每行包括兩個的整數，分別表示採摘某株草藥的時間ti和這株草藥的價值vi。
【輸出檔案】
輸出檔案為medic.out，僅包含乙個整數表示規定時間內可以採到的草藥的最大總價值。
【輸入樣例】
3 910 10
8 11 2
【輸出樣例】
3【資料規模和約定】
50%的資料中 n，m ≤ 1000；
100%的資料中 n，m ≤ 100000，ti，vi ≤10。
若有n種物品，揹包容量為m，物品體積、價值、最大使用次數為v,w,c，則樸素的動規方程為：f[i]=max (1<=k<=c)。我們把所有可能達到的體積按照除以當前物品體積v的餘數劃分為0~v-1，則當餘數為k(k∈[0,v-1])時又可以劃分為k,k+v,k+2*v…k+j*v…（1<=j<=(m-k)div v）這幾種具體的體積，由於對於餘數為k時的轉移只會發生在以上列舉出的幾個體積上，所以可以建立關於以上幾個體積的單調佇列，以便於快速地找到最優決策。但是這裡要注意一點，由於這幾個決策的體積和價值都不相同，直接沒有可比性，所以我們把這些決策的體積統一到為k時比較，統一方法只需要利用體積為k+j*v這一特點，把需要插入隊中的f[k+j*v]的價值減去j*w，就是當體積為k時的乙個可以用於比較的「參考」價值。可以很容易想到：由於轉移時，使用當前物品貢獻的那一部分是二者之差，所以這與減掉j*w之前是等效的。
這樣，每次求f[k+j*v]時，只需要在佇列中找到乙個最優的決策f[k+j』*v]，使得j-j』<=c即可，剩下的工作就只有維護單調佇列了。
核心**和注釋：
procedure insert(x,y:longint);//插入到乙個價值單調遞減，使用次數單調遞增的佇列中
begin
while (l<=r)and(b[r]<=y) do dec(r);
inc(r);a[r]:=x;b[r]:=y;
end;
begin
readln(n,m); //n為物品個數、m為揹包容量
for i:=1 to n do
begin
read(v,w,c); //讀入當前物品：v為物品體積、w為物品價值、c為物品可用次數
if m div v最多可使用次數
for k:=0 to v-1 do //把所有的體積按除以v的餘數劃分為0~v-1
begin
l:=1;r:=0; //清空佇列
for j:=0 to (m-k) div v do //餘數為k的又分為k,v+k,2*v+k…j*v+k…
begin
insert(j,f[j*v+k]-j*w); //等效於把體積統一到k，價值減去j*w，這樣比較優劣才有意義
while a[l]刪除次數超過c的
f[j*v+k]:=b[l]+j*w; //用佇列頭的值更新f[j*v+k]
end;
end;
end;
writeln(f[m]);
end.
/*
多重揹包問題:第一種為二進位制優化 時間複雜度 o(nmlog2s)
第二種使用單調佇列 時間複雜度 o(nm)
*/ //方法一
#include #define max(a,b) (a)>(b)?(a):(b)
int dp[100001];
int w[11][11];
int main()
for(int i = 1; i < 11; ++i)//多重揹包
for(int v = m; v >= count*i; --v)
dp[v] = max(dp[v],dp[v-count*i]+count*j);
}else//完全揹包
}} int ans = 0;
for(int i = 0; i <= m; ++i)
if( ans < dp[i]) ans = dp[i];
printf("%d\n",ans);
return 0;
}/* 方法2
#include #define max(a,b) (a)>(b)?(a):(b)
int f[100001];
int ww[11][11];
int l,r;
int a[100001];
int b[100001];
inline void insert(int x,int y)
int main()
for(int i = 1; i < 11; ++i)
for(int jj = 1; jj < 11; ++jj)}}
printf("%d\n",f[m]);
return 0;
}*/
多重揹包二進位制優化
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