整數劃分問題

整數劃分問題是乙個經典問題，幾乎在講演算法設計的書中都會講，下面把主要的思想給總結下。

所謂整數劃分，就是將乙個正整數n劃分為一系列的正整數之和，如將n可以劃分為：(1=

我們該如何找出所有的劃分呢?

我們可以先來看看整數劃分的規律：

譬如正整數：6

劃分情況如下： 6

5+14+2   4+1+1

3+3   3+2+1 3+1+1+1

2+2+2 2+2+1+1 2+1+1+1+1

1+1+1+1+1+1

觀察第一列的數字發現，我們劃分過程中總是按照比6小1，小2，小3，小k，的順序來依次排列它的劃分，第一列找到比6小k的數之後，然後我們再排列剩下的數字。

所以我們只需要找到那些比6小的數字開頭的，這一行的排列的數目，然後把這些行加起來就是所有的結果，注意看每一行，劃分的特徵是，所有的數字都不超過第一列的那個數字，所以我們可以進行如下的嘗試。

我們試圖這樣去思考這個問題：

如果中的最大值不超過m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，則稱它屬於n          的乙個m劃分。這裡我們記n的m劃分的個數為f(n,m);

例如當n=4時，他有5個劃分，,,,,;

注意4=1+3 和 4=3+1被認為是同乙個劃分。

so，該問題變得清晰了，求出n的所有劃分個數，即f(n, n)。

下面我們考慮求f(n,m)的方法;

遞迴法先討論m，n之間的大小關係：

a.當n==1時，m無論為何值，f（n,m）=1

b.當m==1時，n無論為何值，f（n，m）=1

c.當n

d.當m==n時，可以分兩種情況考慮

1.排列中包含n，則f（n，m）=1

2.排列中不包含n，則問題轉化為求f（n，m-1）

根據組合數學中加法規則，應將上述兩種情況加起來

故此種情況下f（n,m）=1+f(n,m-1);

e.當n>m時，應分兩種情況考慮：

1.排列中包含m，則排列為,其中之和為n-m，

我們注意到x1.x2,x3,xk,是不超過m的，所以對於後面這些之和為n-m的元素來                 說，它們的排列數目應該為f（n-m，m）

2.排列中不包含m，則問題轉化為f（n,m-1）

根據組合數學中的加法原則，應將上述情況加起來：

故此情況下的f（n,m）=f(n-m,m)+f(n,m-1);

綜合以上情況，我們可以看出，上面的結論具有遞迴定義特徵，其中a和b屬於回歸條件，c和d屬於特殊情況，將會轉換為情況e。而情況e為 通用情況，屬於遞推的方法，其本質主要是通過減小m以達到回歸條件，從而解決問題。其遞推表示式如下：

f(n, m)=       1;                                (n=1 or m=1)

f(n, n);                         (n

1+ f(n, m-1);                (n=m)

f(n-m,m)+f(n,m-1);       (n>m)

因此我們可以給出求出f(n, m)的遞迴函式**如下：

這個是用c++實現的

//整數劃分

#includeusing namespace std;

int partition(int n,int m)

int main(){

int n,m;

while(cout<

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