整數劃分問題

整數劃分問題是演算法中的乙個經典命題之一，有關這個問題的講述在講解到遞迴時基本都將涉及。所謂整數劃分，是指把乙個正整數n寫成如下形式：

n=m1+m2+...+mi; （其中mi為正整數，並且1 <= mi <= n），則為n的乙個劃分。

如果中的最大值不超過m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，則稱它屬於n的乙個m劃分。這裡我們記n的m劃分的個數為f(n,m);

例如當n=4時，他有5個劃分，,,,,;

注意4=1+3 和 4=3+1被認為是同乙個劃分。

該問題是求出n的所有劃分個數，即f(n, n)。下面我們考慮求f(n,m)的方法;

1.遞迴法：

根據n和m的關係，考慮以下幾種情況：

（1）當n=1時，不論m的值為多少（m>0)，只有一種劃分即;

(2) 當m=1時，不論n的值為多少，只有一種劃分即n個1，;

(3) 當n=m時，根據劃分中是否包含n，可以分為兩種情況：

(a). 劃分中包含n的情況，只有乙個即；

(b). 劃分中不包含n的情況，這時劃分中最大的數字也一定比n小，即n的所有(n-1)劃分。

因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);

(4) 當nm時，根據劃分中是否包含最大值m，可以分為兩種情況：

(a). 劃分中包含m的情況，即}, 其中 的和為n-m，因此這種情況下

為(n-m)的m劃分f(n-m,m)

(b). 劃分中不包含m的情況，則劃分中所有值都比m小，即n的(m-1)劃分，個數為f(n,m-1);

因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

綜上所述：

f(n, m)=   1;                (n=1 or m=1)

f(n, n);                        (nm)

**如下：

public static int f(int n,int m)

整數劃分問題

整數劃分問題是乙個經典問題，幾乎在講演算法設計的書中都會講，下面把主要的思想給總結下。所謂整數劃分，就是將乙個正整數n劃分為一系列的正整數之和，如將n可以劃分為 1 我們該如何找出所有的劃分呢?我們可以先來看看整數劃分的規律 譬如正整數 6 劃分情況如下 6 5 14 2 4 1 1 3 3 3 2...

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給定乙個自然數，分成k部分，a1，a2.的數的和，要求a1 a2.求有多少種？原理 整數n拆分成最多不超過m個數的和的拆分數，和n 拆分成最大不超過m的拆分數相等。根據這個原理，原問題就轉化成了求最大拆分為k的拆分個數與最大拆分為k 1的拆分個數的差 f n,k f n,k 1 f n k,k 如下...

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首先是遞迴解法 整數劃分問題是將乙個正整數n拆成一組數連加並等於n的形式，且這組數中的最大加數不大於n。如6的整數劃分為 65 1 4 2,4 1 1 3 3,3 2 1,3 1 1 1 2 2 2,2 2 1 1,2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 共11種。下面介紹一種通過遞迴方法得到乙...