尤拉函式總結 數論 尤拉函式

尤拉函式的定義:euler(k)=([1,n-1]中與n互質的整數個數).

eg：euler(8)=4，因為1,3,5,7均和8互質。

可以推出以下公式：

euler(k)=(p1-1)(p2-1)……(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))……(pi^(ai-1))

=k*(1-1/p1)*(1-1/p2)....(1-1/pk)

故euler函式表達通式：

euler(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…(1-1/pn)

,其中p1,p2……pn為x的所有素因數，x是不為0的整數。euler(1)=1（唯一和1互質的數就是1本身）。 

根據以上性質可以推出： 

若(n%a==0 && (n/a)%a==0) 則有:e(n)=e(n/a)*a;

若(n%a==0 && (n/a)%a!=0) 則有:e(n)=e(n/a)*(a-1);

尤拉公式的延伸：

乙個數的所有質因子之和是

euler(n)*n/2。

乙個質數n的尤拉函式是n-1

下面給出求euler函式的程式：

//直接求解尤拉函式，返回euler(n)

int euler(int n)
}if(a>1) res=res/a*(a-1);
return res;
}

在給出乙個篩法打euler函式表：

//篩選法打尤拉函式表

#define max 1000001

int euler[max];

void init(){

euler[1]=1;

for(int i=2;i

poj3090**

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