中國剩餘定理，尤拉函式

中國剩餘定理：

x%3=2,x%5=3,x%7=2;問x最小是多少？

解法：1.首先找到3，5，7，的三個「關鍵數字」，即[5,7]=35;[3,7]=21;[3,5]=15

2.讓35a%3=1，a=2;  讓21b%5=1,b=1;  讓15c%7=1，c=1（我們這裡要讓餘數為1，是為了要求餘數2的話，只要乘以2就可以，要求餘數為3的話，只要乘以3就可以了，……）

3.所以 然後，35*2*2=140    21*1*3=63  15*1*2=30

4.  then 140+63+30=233  ,因為233>3*5*7  ， 所以233- 105*2=23 

尤拉函式：

尤拉函式是指：對於乙個正整數n，小於n且和n互質的正整數（包括1）的個數，記作φ(n) 。

通式：φ(x)=x*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)*(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn為x的所有質因數，x是不為0的整數。φ(1)=1（唯一和1互質的數就是1本身）。

對於質數p，φ(p) = p - 1。注意φ(1)=1.

尤拉定理：對於互質的正整數a和n，有a^φ(n) ≡ 1 mod n。

尤拉函式是積性函式——若m,n互質，φ(mn)=φ(m)φ(n)。

若n是質數p的k次冪，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因為除了p的倍數外，其他數都跟n互質。

特殊性質：當n為奇數時，φ(2n)=φ(n)

尤拉函式還有這樣的性質：

設a為n的質因數，若(n % a == 0 && (n / a) % a == 0) 則有e(n)=e(n / a) * a；若(n % a == 0 && (n / a) % a != 0) 則有：e(n) = e(n / a) * (a - 1)。

已知：euler(p)=p-1,p為質數

證明 尤拉函式的積性若則

模版：

//求尤拉函式的模板：

int euler(int n)//返回euler(n)
}if(a > 1) res -= res/a;//存在大於sqrt(a)的質因子
return res;
}

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