8 3遞迴與分治

1.棋盤覆蓋問題：

分治演算法：

①把棋盤分成四份 ②遞迴解決，當不能再分時返回 ③不用合併，邊遞迴邊打表就行

在乙個 2^k * 2^k 個方格組成的棋盤中，若恰有乙個方格與其它方格不同，則稱該方格為一特殊方格，稱該棋盤為一特殊棋盤。顯然特殊方格在棋盤上出現的位置有 4^k 種情形。因而對任何 k>=0 ，有 4^k 種不同的特殊棋盤。下圖所示的特殊棋盤為 k=2 時 16 個特殊棋盤中的乙個。

在棋盤覆蓋問題中，要用下圖中 4 中不同形態的 l 型骨牌覆蓋乙個給定的特殊棋牌上除特殊方格以外的所有方格，且任何 2 個 l 型骨牌不得重疊覆蓋。易知，在任何乙個 2^k * 2^k 的棋盤中，用到的 l 型骨牌個數恰為 (4^k-1)/3 。

用分治策略，可以設計解棋盤問題的乙個簡捷的演算法。

當 k>0 時，將 2^k * 2^k 棋盤分割為 4 個 2^(k-1) * 2^(k-1) 子棋盤，如下圖所示。

特殊方格必位於 4 個較小子棋盤之一中，其餘 3 個子棋盤中無特殊方格。為了將這 3 個無特殊方格的子棋盤轉化為特殊棋盤，我們可以用乙個 l 型骨牌覆蓋這 3 個較小的棋盤的匯合處，如下圖所示，這 3 個子棋盤上被 l 型骨牌覆蓋的方格就成為該棋盤上的特殊方格，從而將原問題化為 4 個較小規模的棋盤覆蓋問題。遞迴的使用這種分割，直至棋盤簡化為 1x1 棋盤。

#include //湖南師範大學oj-10432 
#include #includeusing namespace std;
int biao[70][70],now = 1;
void solve(int x1,int x2,int y1,int y2,int xx,int yy)
else
if(xx >= m1 + 1 && xx <= x2 && yy >= y1 && yy <= m2) //在第二個格仔裡
else
if(xx >= x1 && xx <= m1 && yy >= m2 + 1 && yy <= y2) //在第三個格里
else
if(xx >= m1 + 1 && xx <= x2 && yy >= m2 + 1 && yy <= y2) //在第四個格仔裡
now++;
solve(x1,m1,y1,m2,xx1,yy1); //第乙個格仔
solve(x1,m1,m2 + 1,y2,xx3,yy3); //第三個格仔
solve(m1 + 1,x2,y1,m2,xx2,yy2); //第二個格仔
solve(m1 + 1,x2,m2 + 1,y2,xx4,yy4); //第四個格仔
}int main()
printf("\n");}}
return 0;
}

2.迴圈日程表問題：

3.巨人和鬼的問題（好演算法）：

演算法分析:

本題屬於凸包問題。

我們設p1..pn為巨人的固定點;pn+1..p2n為鬼的固定點。我們採取分治採取分治策略尋找序列[pp..pr]中的配對方案(初始時[pp..pr]為[p1..p2n]):

在[pp..pr]中找出乙個最低位置(y座標值最小)的乙個點p0,如果這樣的點有多個,則選取最左邊的點為p0，p0與pp交換。然後將其餘點[pp+1..pr]按相對 pp的極角遞增的順序排列。顯然pp與其餘點pp+1..pr之間的任何線段是不會交叉的。我們從pp開始尋找乙個巨人和鬼成對的最小子區間[pp..pi](p≤i≤r)。若該子區間僅剩乙個元素,配對結束;否則巨人(鬼)pp與鬼(巨人)pi配對。這樣使得尚未配對的巨人和鬼分布在兩個子區間[pp+1..pi-1],[pi+1..pr]。繼續按上述分治策略分別遞迴求解[pp+1..pi-1]和[pi+1..pr]。

如上圖，以點p1，將其他點按相對p1的極角遞增排序。然後從p2開始順序地找乙個最短的配對序列p1－p6(鬼和巨人的個數要相等，這樣才能一一配對。p1－p6是3個鬼，3個巨人)。怎樣求分割線p1p6呢？是給鬼和巨人乙個標誌，設鬼為-1，巨人為1，從p2開始找時，逐漸累加，直到為1時停止，表明鬼和人的個數相等，如p1到p2時：2個鬼(－1－1＝-2)，繼續到p3：2鬼1巨人(－1－1+1＝-1)，p4：3鬼1巨人(－1－1+1-1＝-2)，p5：3鬼2巨人(－1－1+1－1+1＝-1)，p6：3鬼3巨人(－1－1+1－1+1+1＝0)，此時鬼和巨人的個數相等，則分割線為p1p6，將p1－p8分割成(p2－p5)和(p7－p8)。再遞迴對(p2－p5)和(p7－p8)按同樣的方法分治求解。

8 3遞迴與分治

分治與遞迴

遞迴與分治

遞迴與分治

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