單源最短路徑（Dijkstra）貪心演算法

dijkstra演算法是解單源最短路徑問題的貪心演算法。其基本思想是，設定頂點集合點集合s並不斷地做貪心選擇來擴充這個集合。乙個頂點屬於集合s當且僅當從源到該頂點的最短路徑長度已知。初始時，s中僅含有源。設u是g的其一頂點。把從源到u且中間只經過s中頂點的路稱為從源到u的特殊路徑，並用陣列distance記錄當前每個頂點所對應的最短特殊路徑長度。dijkstra演算法每次從v-s中取出具有最短特殊路長度的頂佔，distance就記錄了從源到所有其它頂點之間最短路徑長度。

例如下圖中的有向圖，應用dijkstra演算法計算從源頂點1到其它頂點最短路徑的過程列表在下表中。

演算法過程描述：

**中預設選取的起始頂點為1頂點，所以本問題就轉化為求解1頂點到2, 3, 4, 5這幾個頂點的最短路徑。首先初始條件列出1頂點到2, 3, 4, 5各個頂點的距離，這個距離直接在圖的儲存鄰接矩陣中得到，選取距離最近的乙個也就是2頂點加入集合s，下面要進行的是比較關鍵的一步，這個時候應該去獲取3, 4, 5三個頂點到集合s的最短距離(從1頂點出發，可以經過s中的任意頂點)：將1到2頂點的距離加上2到各個點的距離，然後用這個距離來同1到各個頂點的距離相比較，誰小就取誰，以此類推，然後每次取distance最小的值進入集合s。

這樣下去，distance中存放的就是每個頂點到集合s的最短距離，比如當前的集合只有1, 2，按照規則頂點4應該入選進集合s，因為distance[3]沒有入選集合的頂點中對應的distance最小的頂點。現在需要計算3和5到新集合s=的最短距離，這個時候就只需要將distance[2]和distance[4]中的值（現在這裡面的值表示集合s=到頂點3和5頂點的最短距離），但是現在集合中加入了頂點4，怎麼計算？計算方法如下：

distance[3] + 鄰接矩陣中頂點4到頂點3的距離 < distance[2] ?

distance[3]：(頂點4到s=的最短距離)

distance[2]: (頂點3到s=的最短距離)

如果這個小於成立，那麼很明顯新的集合到頂點3的最小距離應該是先從s=到頂點4的最短距離，然後再從頂點4到頂點3。

由於每一次的比較都是在上一次集合的最優結果中計算的，所以新計算出來的頂點3到集合s=的最短距離也是全域性最優的。

對應的c語言**如下：

#include #define m	65535 //無窮大
#define n 5 //頂點數
//dijkstra演算法函式，求給定頂點到其餘各點的最短路徑
//引數：鄰接矩陣、出發點的下標、結果陣列、路徑前一點記錄
void dijkstra(int cost[n], int v0, int distance, int prev)
} // if 語句體結束，j迴圈結束
} // i迴圈結束
}// 輸出最短路徑
// 引數：路徑前一點記錄、出發點的下標、到達點下標
void printprev(int prev,int v0,int vn)
else break;
}//輸出路徑，陣列逆向輸出
for(i=n-1; i >= 0; i--)
}printf("-->v%d", vn+1);
}//主函式
int main()
; //給出有向網的鄰接矩陣
int cost[n][n]=,,,
,,};int distance[n]; //存放求得的最短路徑長度
int prev[n]; //存放求得的最短路徑
int i;
//呼叫dijkstra演算法函式，求頂點v1到其餘各點的最短路徑
//引數：鄰接矩陣、頂點數、出發點的下標、 結果陣列
dijkstra(cost, 0, distance, prev);
for(i=0; i < n; i++)
return 0;
}

程式執行結果截圖：

參考文章：

單源最短路徑（Dijkstra）貪心演算法

Dijkstra 單源最短路徑

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