題意：敵人有一條直線形狀的鐵路，上面有n個據點，每個據點有對應的值表示他的價值。據點之間通過鐵路相連。
整條鐵路上的戰略價值定義為:∑(
i,j)
1≤in ai
aj,
,其中(i
,j)
表示可以通過鐵路相互到達的兩個據點，ai
,aj 為對應據點的價值。
我們現在能炸毀據點之間的鐵路，但是只能炸掉m段鐵路。希望最小化這些據點的戰略價值。
思路：
問題具有重疊子問題和最優子問題的性質，可以用動態規劃求解。
定義sum[i]為前i個據點的價值和，則su
mi=∑
k=1i
ak=s
umi−
1+ai
. 定義cost[k]為前i個據點的戰略價值，則co
stk=
∑(i,
j)1≤
ikaia
j=∑(
i,j)
1≤ik−1a
iaj+
∑j=1
jjak=
cost
k−1+
ak∗s
umk−
1 定義dp[i][j]為用i次爆破前j個據點間的道路，且最後一次爆破為第j個據點的右邊的鐵路.
則狀態轉移方程為： dp
[i][
j]=m
in(d
p[i−
1][k
]+co
stj−
cost
k−su
mk(s
umj−
sumk
))
這樣的時間複雜度是θ(
mn 2
) ，也會超時。
因為注意到cost[i],sum[i]遞增，轉移方程中出現了很多二次項，啟發我們能否表示成斜率，從而利用斜率優化。
將上面的方程變形得： dp
[i][
j]=m
in(d
p[i−
1][k
]−co
stk−
sumj
sumk
+sum
2k)+
cost
j 設t
<
k，如果k比t在j處更優，則 dp
[i−1
][k]
−cos
tk−s
umjs
umk+
sum2
k≤dp
[i−1
][t]
−cos
tt−s
umjs
umt+
sum2
t 變形得： (d
p[i−
1][k
]+su
m2k−
cost
k)−(
dp[i
−1][
t]+s
um2t
−cos
tt)s
umk−
sumt
≤sum
j 令： g(t
,k)=
(dp[
i−1]
[k]+
sum2
k−co
stk)
−(dp
[i−1
][t]
+sum
2t−c
ostt
)sum
k−su
mt 即
g(t,
k)≤s
umj
同樣，我們可以證明： 1.g
(t,k
)≤su
mj≤s
uml(
j≤l)
，則k在後面的幾項都比t優，t可以刪除。
2.如果g(
t,k)
≥g(k
,j)
,k一定不是最優解，從而可以刪除。
這樣，我們就可以用單調佇列進行優化了。
**如下:
#include
#include
#include
using namespace std;
const int max = 1010;
int a[max],sum[max],cost[max];
intq[max],head,tail;
int dp[max][max];
int main(void)
for(int i = 1 ; i <= n; ++i)
dp[i][0] = cost[i],dp[i][i-1] = 0;
for(int j = 1; j <= m; ++j)
int k = q[head];
dp[i][j] = dp[k][j-1] + cost[i] - cost[k] - sum[k] * (sum[i] - sum[k]);
int p3 = i;
int x3 = sum[p3];
int y3 = dp[p3][j-1] - cost[p3] + x3*x3;
while(head + 1
< tail)
q[tail++] = i;}}
printf("%d\n",dp[n][m]);
}return
0;}
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