題意：現在有n個元素的集合s。把集合s劃分成m個子集，每個子集的花費為集合中最大和最小元素的差的平方。
求如何劃分，才能總的代價最小。
思路：首先要注意到，因為集合中的元素具有無序性，我們只需知道集合中最大和最小的元素就能算出代價，也能把集合劃分出來。
所以，我們把所有元素進行排序，這樣，最小的元素和最大的元素的位置就是已知的了。
定義：dp[i][j]將前j個元素劃分成i個子集得到的最小花費和。
則: dp[
i][j
]=mi
n(dp
[i−1
][k]
+(aj
−ak+
1)2)
，i≤k
≤n初始條件 dp
[1][
j]=(
aj−a
1)2
但是這樣的複雜度是θ(
mn 2
) ，會超時。
注意到出現了平方的形式，且ai
有遞增的性質，這啟發我們可以嘗試一下是否能斜率優化。
將上面的式子變形： dp
[i][
j]=m
in(d
p[i−
1][k
]+a2
k+1−
2aja
k+1)
+a2j
假設t < k < j，如果k比t在j更優，則有 dp
[i−1
][k]
+a2k
+1−2
ajak
+1≤d
p[i−
1][t
]+a2
t+1−
2aja
t+1
變形得： (d
p[i−
1][k
]+a2
k+1)
−(dp
[i−1
][t]
+a2t
+1)a
k+1−
at+1
≤2aj
令g(t,k)
=(dp
[i−1
][k]
+a2k
+1)−
(dp[
i−1]
[t]+
a2t+
1)ak
+1−a
t+1
則 g(t
,k)≤
2aj
同樣，我們可以證明 1.g
(t,k
)≤2a
j≤2a
l,l≥
j 。 2.如果g(
t,k)
≥g(k
,j)
,k一定不是最優解。
上面的證明說明，我們能用單調佇列來優化尋找最優解的過程。
**如下：
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn = 10010;
const int maxm = 5010;
int a[maxn];
int dp[maxm][maxn];
int n, m;
intq[maxn];
int head, tail;
int main()
int k = q[head];
dp[i][j] = dp[i - 1][k] + (a[j] - a[k + 1])*(a[j] - a[k + 1]);
while (head + 1
< tail)
q[tail++] = j;}}
printf("case %d: %d\n", icase, dp[m][n]);
}return
0;}
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