卡特蘭數是組合資料中乙個常在各種計數問題中出現的數列，由比例時的數學家歐仁.查理.卡特蘭（1814-1894）命名。c0＝
1而c1＝
1，c2＝
2，c3＝
5，c4＝
14，c5＝
42，c6＝
132，c7＝
429，c8＝
1430，c9
＝4862
，c10
＝16796
，c11
＝58786
，c12
＝208012
，c13
＝742900
，c14
＝2674440
，c15
＝9694845
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卡塔蘭數的一般項公式為
另乙個表達形式
滿足遞推關係：
它也滿足
這提供了乙個更快速的方法來計算卡塔蘭數。
卡塔蘭數的漸近增長為
它的含義是左式除以右式的商趨向於1當n → ∞。（這可以用n!的斯特靈公式來證明。）
所有的奇卡塔蘭數c
n都滿足n = 2k
− 1。所有其他的卡塔蘭數都是偶數。
組合數學中有非常多組合結構可以用卡特蘭數：
1、在richard p. stanley的enumerative combinatorics: volume 2一書的習題中包括了66個相異的可由卡塔蘭數表達的組合結構。以下用cn
=3和c
n=4舉若干例：
證明：令1表示進棧，0表示出棧，則可轉化為求乙個2n位、含n個1、n個0的二進位制數，滿足從左往右掃瞄到任意一位時，經過的0數不多於1數。顯然含n個1、n個0的2n位二進位制數共有
考慮乙個含n個1、n個0的2n位二進位制數，掃瞄到第2m+1位上時有m+1個0和m個1（容易證明一定存在這樣的情況），則後面的0-1排列中必有n-m個1和n-m-1個0。將2m+2及其以後的部分0變成1、1變成0，則對應乙個n+1個0和n-1個1的二進位制數。反之亦然（相似的思路證明兩者一一對應）。
從而1、乙個棧(無窮大)的進棧
序列為1，2，3，…，n，有多少個不同的出棧
序列?類似：有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視作將5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧)
2、對於乙個n*n的正方形網格，每次我們能向右或者向上移動一格，那麼從左下角到右上角的所有在副對角線右下方的路徑總數為
。我們將一條水平邊記為+1,垂直邊記為-1,那麼就組成了乙個n個+1和n個-1的序列，我們所要保證的就是前k步中水平邊的個數不小於垂直邊的個數，換句話說前k個元素的和非負，就是我們關於catalan數的定義。
3、凸n+2邊形進行三角形分割（只連線頂點對形成n個三角形）數：
4、12個高矮不同的人,排成兩排,每排必須是從矮到高排列,而且第二排比對應的第一排的人高,問排列方式有多少種?
我們先把這12個人從低到高排列,然後,選擇6個人排在第一排,那麼剩下的6個肯定是在第二排.如何選？
用0表示對應的人在第一排,用1表示對應的人在第二排,那麼含有6個0,6個1的序列,就對應一種方案.如何排？卡特蘭數。
5、cn
表示用n
個長方形填充乙個高度為
n的階梯狀圖形的方法個數。
卡特蘭數的應用
卡特蘭數又稱卡塔蘭數，英文名catalan number，是 組合數學 中乙個常出現在各種計數問題中出現的 數列。以 比利時的數學家歐仁 查理 卡塔蘭 1814 1894 的名字來命名，其前幾項為 1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58786,208012,...
卡特蘭數，高精度卡特蘭數
簡單介紹 卡特蘭數是組合數學中常常出現的乙個數列。個人認為不管是遞推公式還是代表的含義都比斐波那契數列難理解一些。遞推公式 應用 1.cn表示長度2n的dyck word的個數。dyck word是乙個有n個x和n個y組成的字串。且全部的字首字串皆滿足x的個數大於等於y的個數。下面為長度為6的dyc...
卡特蘭數和超級卡特蘭數
這篇部落格主要是想講一下超級卡特蘭數 大施洛德數 順帶就想講一下卡特蘭數.卡特蘭數記為 c n c 1 1 forall n geq 2,c n sum c i c 前幾項大概是 1,1,2,5,14,42,132.直接遞推未免效率太低,我們考慮用生成函式優化.顯然有 c x c x 2 x 解得 ...