平面最近點對

求點集中的最近點對有以下兩種方法:

設p1=(x1, y1), p2=(x2, y2), …, pn=(xn, yn)是平面上n個點構成的集合s，設計演算法找出集合s中距離最近的點對。

1、蠻力法（適用於點的數目比較小的情況下）

1）演算法描述：已知集合s中有n個點，一共可以組成n(n-1)/2對點對，蠻力法就是對這n(n-1)/2對點對逐對進行距離計算，通過迴圈求得點集中的最近點對：

2）**描述：

double mindistance = double.maxvalue；

//設定乙個mindistance儲存最近點對的距離，初始值為無窮大

int pointindex1,pointindex2；

//設定pointindex1,pointindex2分別儲存最近點對的兩個點編號

for (i=1; i< n; i++)

//迴圈計算n(n-1)/2對點對的距離

} }

}  3）演算法時間複雜度：演算法一共要執行 n(n-1)/2次迴圈，因此演算法複雜度為o(n2)

2、分治法

1）演算法描述：已知集合s中有n個點，分治法的思想就是將s進行拆分，分為2部分求最近點對。演算法每次選擇一條垂線l，將s拆分左右兩部分為sl和s

r，l一般取點集s中所有點的中間點的x座標來劃分，這樣可以保證sl和s

r中的點數目各為n/2，

（否則以其他方式劃分s，有可能導致sl和s

r中點數目乙個為1，乙個為n-1，不利於演算法效率，要盡量保持樹的平衡性）

依次找出這兩部分中的最小點對距離：δl和δ

r，記sl和s

r中最小點對距離δ = min（δl，δ

r），如圖1：

以l為中心，δ為半徑劃分乙個長帶，最小點對還有可能存在於sl和s

r的交界處，如下圖2左圖中的虛線帶，p點和q點分別位於sl和s

r的虛線範圍內，在這個範圍內，p點和q點之間的距離才會小於δ，最小點對計算才有意義。

figure 2

對於sl虛框範圍內的p點，在s

r虛框中與p點距離小於δ的頂多只有六個點，就是圖二右圖中的2個正方形的6的頂點。這個可以反推證明，如果右邊這2個正方形內有7個點與p點距離小於δ，例如q點，則q點與下面正方形的四個頂點距離小於δ，則和δ為sl和sr中的最小點對距離相矛盾。因此對於sl

虛框中的p點

，不需求出p點和右邊虛線框內所有點距離，只需計算s

r中與p點y座標距離最近的6個點，就可以求出最近點對，節省了比較次數。

（否則的話，最壞情形下，在s

r虛框中有可能會有n/2個點，對於s

l虛框中的p點，每次要比較

n/2次，浪費了演算法的效率）

**描述：

1）對點集s的點x座標和y座標進行公升序排序，獲得點集sx和s

y2）令δ=∞;

//δ為最小點位距離

3）divide_conquer（sx，s

y，δ）

//分治法

if （s

x.count=1） thenδ=∞;

//如果sx

中只有乙個點，則δ=∞

returnδ;

else if（s

x.count=2 and d（s

x.[0],s

x.[1]）<δ）

//如果sx

中只有2個點，則δ為兩點之間距離

δ=d（s

x.[0],）s

x.[1]）;

returnδ;

else

//如果sx

中多於2個點，則將sx

,sy分治，以中心點畫線，將sx

分為左右兩部分sxl

和sxr，

sy分為s

yl和syr

j1=1,j

2=1,k

1=1,k

2=1;

mid =s

x.count/2;

//mid為s

x中的中間點點號

l =s

x.[mid].x; //l

為sx中的中間點x座標

for(i=1,ix

.count,i++)

δl=divide_conquer（s

xl，s

yl，δ）;

//獲取sx

中的的最小點位距離δl

δr=divide_conquer（s

xr，s

yr，δ）;

//獲取sy

中的的最小點位距離δr

δ= min (δl,δ

r);δ=merge(s

yl，s

yr，δ);

//獲sx中

sy交界處的最小點位距離，並綜合δl

和δr求出點集的最小點位距離δ

returnδ;

函式merge(s

yl，s

yr，δ)

merge(s

yl，s

yr，δ)

for(i=1,iyr

.count,i++)

//獲取syr

中在右邊虛框(距離小於δ)內的點，存入到

s'yr

中，新陣列保持原來的公升序性質

t=1;

for(i=1,iyl

.count,i++)

for( j= max(1,t-3), j<=min(t+3,s'

yr.count),j++)

//計算s'

yr中的點與s'

yl[t]y座標相鄰的六個點的距離

return δ

} 3）演算法時間複雜度：

首先對點集s的點x座標和y座標進行公升序排序，需要迴圈2nlogn次，複雜度為o(2nlogn)

接下來在分治過程中，對於每個s'

yl中的點，都需要與s'

yr中的6個點進行比較

o(n)= 2o(n/2) + (n/2)*6 （乙個點集劃分為左右兩個點集，時間複雜度為左右兩個點集加上中間區域運算之和）

其解為o(n)< o(3nlogn)

因此總的時間複雜度為o(3nlogn)，比蠻力法的o(n

2)要高效。

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