平面最近點對

2021-09-01 03:08:22 字數 2656 閱讀 3822

求點集中的最近點對有以下兩種方法:

設p1=(x1, y1), p2=(x2, y2), …, pn=(xn, yn)是平面上n個點構成的集合s,設計演算法找出集合s中距離最近的點對。

1、蠻力法(適用於點的數目比較小的情況下)

1)演算法描述:已知集合s中有n個點,一共可以組成n(n-1)/2對點對,蠻力法就是對這n(n-1)/2對點對逐對進行距離計算,通過迴圈求得點集中的最近點對:

2)**描述:

double mindistance = double.maxvalue; //設定乙個mindistance儲存最近點對的距離,初始值為無窮大

int pointindex1,pointindex2; //設定pointindex1,pointindex2分別儲存最近點對的兩個點編號

for (i=1; i< n; i++) //迴圈計算n(n-1)/2對點對的距離

3)演算法時間複雜度:演算法一共要執行 n(n-1)/2次迴圈,因此演算法複雜度為o(n2)

2、分治法

1)演算法描述:

已知集合s中有n個點,分治法的思想就是將s進行拆分,分為2部分求最近點對。演算法每次

選擇一條垂線l,將s拆分左右兩部分為sl和sr,l一般取點集s中所有點的中間點的x座標來劃分,這樣可以保證sl和sr中的點數目各為n/2,

(否則以其他方式劃分s,有

可能導致

sl和sr

中點數目乙個為1,乙個為n-1,不利於演算法效率,要盡量保持樹的平衡性)

依次找出這兩部分中的最小點對距離:δl和δr,記sl和sr中最小點對距離δ = min(δl,δr),如圖1:

以l為中心,δ為半徑劃分乙個長帶,最小點對還有可能存在於sl和sr的交界處,如下圖2左圖中的虛線帶,p點和q點分別位於sl和sr的虛線範圍內,在這個範圍內,p點和q點之間的距離才會小於δ,最小點對計算才有意義。

figure 2

對於sl虛框範圍內的p點,在sr

虛框中與p點距離小於δ的頂多只有六個點,就是圖二右圖中的2個正方形的6的頂點。這個可以反推證明,如果右邊這2個正方形內有7個點與p點距離小於

δ,例如q點,則q點與下面正方形的四個頂點距離小於

δ,則和δ為

sl和sr中

的最小點對距離相矛盾。因此對

於sl虛框中的p點

,不需求出p點和右邊虛線框內所有點距離,只需計算sr中

與p點y座標距離最近的6個點,就可以求出最近點對,節省了比較次數。

(否則的話,

最壞情形下,在s

r虛框中有可能會有n/2個點,對於sl虛框中的p點

,每次要比較n/2次,浪費了演算法的效率)

**描述:

1)對點集s的點x座標和y座標進行公升序排序,獲得點集sx和sy

2)令δ=∞; //δ為最小點位距離

3)divide_conquer(sx,sy,δ

) //分治法

if (sx.count=1) then δ=∞; //如果sx中只有乙個點,則δ=∞

return δ;

else if(sx.count=2 and d(sx.[0],

sx.[1])

δ=d(sx.[0],)sx.[1]);

return δ;

else //如果sx中多於2個點,則將sx

,sy分治,以中心點畫線,將sx

分為左右兩部分sxl和sxr,sy分為syl和syr

j1=1,j2=1,k1=1,k2=1;

mid = sx.count/2; //mid為sx中的中間點點號

l = sx.[mid].x; //l為sx中的中間點x座標

for(i=1,i

δl = divide_conquer(sxl,syl,δ)

; //獲取sx中的的最小點位距離δl

δr = divide_conquer(sxr,syr,δ)

; //獲取sy中的的最小點位距離δr

δ= min (δl,δr);

δ=merge(syl,syr,δ);

//獲sx中sy交界處的最小點位距離,並綜合δl和δr 求出點集的最小點位距離δ

return δ;

函式merge(syl,syr,δ)

merge(syl,syr

,δ)

for( j= max(1,t-3), j<=min(t+3,s'yr.count),j++) //計算s'yr中的點與s'yl[t]y座標相鄰的六個點的距離

if(d(s'yl[i],s'yl[j])

then δ = d(s'yl[i],s'yl[j]); //則最小點位距離δ為當前兩點之間距離

return δ

3)演算法時間複雜度:

首先對點集s的點x座標和y座標進行公升序排序,需要迴圈2nlogn次,複雜度為o(2nlogn)

接下來在分治過程中,對於每個s'yl中的點,都需要與s'yr中的6個點進行比較

o(n)= 2o(n/2) + (n/2)*6(乙個點集劃分為左右兩個點集,時間複雜度為左右兩個點集加上中間區域運算之和)

其解為o(n)< o(3nlogn)

因此總的時間複雜度為o(3nlogn),比蠻力法的o(n

2)要高效。

分治法基礎知識可參考

改進演算法可參考「求平面點集最近點對的乙個改進演算法」

平面最近點對

求點集中的最近點對有以下兩種方法 設p1 x1,y1 p2 x2,y2 pn xn,yn 是平面上n個點構成的集合s,設計演算法找出集合s中距離最近的點對。1 蠻力法 適用於點的數目比較小的情況下 1 演算法描述 已知集合s中有n個點,一共可以組成n n 1 2對點對,蠻力法就是對這n n 1 2 ...

平面最近點對

求點集中的最近點對有以下兩種方法 設p1 x1,y1 p2 x2,y2 pn xn,yn 是平面上n個點構成的集合s,設計演算法找出集合s中距離最近的點對。1 蠻力法 適用於點的數目比較小的情況下 1 演算法描述 已知集合s中有n個點,一共可以組成n n 1 2對點對,蠻力法就是對這n n 1 2對...

平面最近點對

求點集中的最近點對有以下兩種方法 設p1 x1,y1 p2 x2,y2 pn xn,yn 是平面上n個點構成的集合s,設計演算法找出集合s中距離最近的點對。1 蠻力法 適用於點的數目比較小的情況下 1 演算法描述 已知集合s中有n個點,一共可以組成n n 1 2對點對,蠻力法就是對這n n 1 2對...