樹 二叉樹及二叉查詢樹

n (n >= 0) 個結點的有限集。如果 n = 0，稱為空樹；如果 n > 0，則

1）有且僅有乙個特定的稱為根(root)的結點，根只有直接後繼，沒有直接前驅；

2）當n > 1，除根外其它結點劃分為 m (m >0) 個互不相交的有限集t1, t2 ,…, tm，其中每個集合本身又是一棵樹，稱為根的子樹(subtree)。

樹的結點：包含乙個資料元素及若干指向子樹的分支；

孩子結點：結點的子樹的根稱為該結點的孩子；

雙親結點：b 結點是a 結點的孩子，則a結點是b 結點的雙親；

兄弟結點：同一雙親的孩子結點； 堂兄結點：同一層上結點；

祖先結點: 從根到該結點的所經分支上的所有結點子孫結點：以某結點為根的子樹中任一結點都稱為該結點的子孫

結點層：根結點的層定義為1；根的孩子為第二層結點，依此類推；

樹的深度：樹中最大的結點層

結點的度：結點子樹的個數

樹的度： 樹中最大的結點度。

葉子結點：也叫終端結點，是度為 0 的結點；

分枝結點：度不為0的結點；

有序樹：子樹有序的樹，如：家族樹；

無序樹：不考慮子樹的順序；

定義：一棵二叉樹是結點的乙個有限集合，該集合或者為空，或者是由乙個根結點加上兩棵分別稱為左子樹和右子樹的、互不相交的二叉樹組成。

特點：每個結點至多只有兩棵子樹（二叉樹中不存在度大於2的結點）

五種形態：

性質：（見二叉樹的五大性質及證明）

二叉樹的乙個重要的應用是它們在查詢中的使用。假設樹中的每個結點儲存一項資料。使二叉樹成為二叉查詢樹的性質是，對於樹中的每個節點x，它的左子樹中所有項的值小於x中的值，而它的右子樹中所有項的值大於x中的值。

public class binarysearchtree> 

node(anytype element, nodelt, nodert) } 
private noderoot; //根節點
public binarysearchtree()
public void makeempty()
public boolean isempty()
}

通過二叉查詢樹有序的性質，能有效節省查詢時的效率，在平均情況下查詢的時間複雜度為o(logn)，但在最壞的情況下(此時二叉查詢樹退化成鏈)查詢的時間複雜度會達到o(n)。

/**

* 查詢元素的內部方法，遞迴
* @param x 要查詢的元素
* @param t 子樹的根節點
* @return 是否查詢成功
*/private boolean contains(anytype x, nodet)

在二叉查詢樹的性質中可知，對於樹中的每個節點x，它的左子樹中所有項的值小於x中的值而它的右子樹中所有項的值大於x中的值。這樣使用遞迴的方法可很簡單地實現最大/最小值的查詢。(以下對於最大值和最小值分別使用遞迴和非遞迴的形式實現)

/**

* 查詢樹中最小元素，遞迴
* @param t
* @return
*/private nodefindmin(nodet)
return findmin(t.left);
}/**
* 查詢樹中最大元素，非遞迴實現
* @param t
* @return
*/private nodefindmax(nodet)
}return t;
}

二叉查詢樹插入的實現與查詢相似，即找到對應位置在執行插入操作。

/**

* 將元素插入到二叉查詢樹
* @param x 要查詢的元素
* @param t 子樹的根節點
* @return 插入後的樹的根節點
*/private nodeinsert(anytype x, nodet) 

二叉查詢樹節點的刪除有兩種情況：

1.被刪除的節點只有乙個兒子，則該結點可以在其父節點調整自己的鏈後刪除；(若該節點是樹葉的情況等同，此時賦值的值為null)

2.被刪除的節點只有兩個兒子，用其右子樹的最小的資料代替該節點的資料，並遞迴第刪除那個節點。

private noderemove(anytype x, nodet) 

else
t = (t.left != null)?t.left:t.right; //要刪除的節點有乙個孩子或無孩子
return t;
}

中序遍歷首先遍歷左子樹，然後訪問根結點，最後遍歷右子樹。在遍歷左、右子樹時，仍然先遍歷左子樹，再訪問根結點，最後遍歷右子樹。

private void inorder(noderoot)

}

首先訪問根結點然後遍歷左子樹，最後遍歷右子樹。在遍歷左、右子樹時，仍然先訪問根結點，然後遍歷左子樹，最後遍歷右子樹，如果二叉樹為空則返回。

private void preorder(noderoot)

}

後序遍歷首先遍歷左子樹，然後遍歷右子樹，最後訪問根結點，在遍歷左、右子樹時，仍然先遍歷左子樹，然後遍歷右子樹，最後遍歷根結點。

private void postorder(noderoot)

}

設二叉樹的根節點所在層數為1，層序遍歷就是從所在二叉樹的根節點出發，首先訪問第一層的樹根節點，然後從左到右訪問第2層上的節點，接著是第三層的節點，以此類推，自上而下，自左至右逐層訪問樹的結點的過程就是層序遍歷。

/**

* 層次遍歷二叉樹(使用佇列)
* 描述：先將根節點放入佇列中，然後每次都從佇列中取出乙個節點列印，
* 若這個節點有子節點，則將它的子節點放入佇列尾，直到隊列為空
樹（樹，二叉樹，二叉查詢樹）
1.定義 n n 0 個結點構成的有限集合。當n 0時，稱為空樹 2.對於任一棵非空樹 n 0 它具備以下性質 1 樹中有乙個稱為 根 root 的特殊結點，用 r 表示 2 其餘結點可分為m m 0 個互不相交的有限集t1，t2，其中每個集合本身又是一棵樹，稱為原來樹的子樹。3.樹的一些性質 1 ...
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構建二叉樹，判斷是否為二叉查詢樹，遞迴先序遍歷，非遞迴中序遍歷 include include include include using namespace std 二叉樹結點 struct treenode 鍊錶結點 struct listnode struct tempnodetempnode...
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