計算機圖形學數學基礎譯自 scratchapixel **，數學基礎部分共八篇，本篇為第一篇，感興趣的同學可以參考我的 gitbook 映象。向量可以被看作是乙個箭頭從乙個點出發到另外乙個點結束。向量不僅可以看作為從a點到b點的方向，還可以看作a點到b點的距離。下列是計算向量長度的公式:
在幾何學中，復縱線(||v||)表示向量v的長度。向量長度通常被稱為模(norm)或大小(magnitude)。
在c++中可以表示為：
template class vec3
}
需要注意在c++**裡除法是可以優化的，首先計算向量的長度len，如果大於0,然後計算出長度len的倒數invlen，最後用向量在每個軸上的座標乘以invlen。這樣做的原因是程式設計中乘法的開銷要小於除法，尤其是在渲染(renderer)過程中，標準化向量極為常見，這個過程會有成百上千甚至百萬個向量。在這種級別，任何可能的優化都會直接影響渲染的時間。(需要支援有的編譯器會自動將乘法優化為除法)。
template class vec3
return *this;
}}
norm函式來為向量的長度或距離賦值，這裡定義的函式被稱為歐幾里得範數(euclidean norm).
點積(dot product)或數積(scalar product)，需要兩個向量a和b，可以被看作乙個向量在另乙個向量上的投影(projection)。點積的結果是乙個實數(float或double型別)。a和b的點積被記為:)。
點積由a向量的每個元素乘以b向量每個元素並求和。在3d的場景下，向量有三個係數(coefficients)或元素(elemment)，即x，y和z。公式為:
需要指出的是這與我們計算向量長度的方法十分相似，如果我們取兩個相等向量(a=b)的點積的平方根
然後就可以得到向量的長度。可以寫做:
這可以被用於標準化方法：
templatet>
class vec3
vec3 & normalize()
return *this;
} ...
};
+ 如果b是單位向量，則
+ 當a和b都不是單位向量時，可以寫作
+ 當兩個向量都標準化後，通過計算點積的反余弦可以得到兩個向量的夾角：
(在幾何學中，acos()).
點積在3d場景中用途非常廣泛：
+ 測試向量的正交性。當兩個向量(a,b)相互垂直時，a和b的點積為0,當兩個向量(a,c)為反方向時,a和c的點積為-1，當兩個向量(a,d)為相同方向時，a和d的點積為1.
+ 計算兩向量間的夾角或向量和座標軸之間的夾角(在座標軸轉化為球形座標時非常有用)。
叉積同樣是兩個向量的間操作，與點積不同的是，叉積返回的是乙個向量。由叉積產生的向量c垂直於產生叉積的向量a和b，如圖:
叉積的表達為:c = a x b,為了計算叉積需要如下公式:
叉積產生的向量是垂直於產生叉積的兩個向量。向量a和b的叉積記為a x b。兩個向量a和b決定乙個平面，叉積向量c垂直於這個平面。向量a和b不需要相互垂直，但是在a和b是單位向量時a，b，c可以形成笛卡爾座標系(cartesian coordinate system).這個特性在建立本地座標系時非常有用。
templatet>
class vec3
...};// or a utility function
templatet>
vec3 cross(const vec3 &a, const vec3 &b)
a x b = (1,0,0) x (0,1,0) = (0,0,1)而
b x a = (0,1,0) x (1,0,0) = (0,0,-1).我們常說叉積是反交換率的(anticommutative),因為axb=c而bxa=-c。
在幾何學中，叉積的結果被稱為偽向量(pseudo vector),計算叉積的向量的順序可以直接影響曲面法線(su***ce normals)的方向。依據這個順序，叉積的結果可以是指向 曲面內部(inward-pointing normal) 或者 指向 外部(outward-pointing normal)。
數學基礎I 向量和座標
最基本的，我們都知道在數學上常常用座標表示空間中的某個目標點，該目標點在空間座標軸投影的位置即確定了目標點的位置。因此向量也可以用來表示描述這個目標點。什麼是向量？向量就是有大小，有方向的量。目標點相對於空間座標系原點的距離即是向量的大小，方位即是向量的方向。向量的基本運算有1 加減，2 範數和模，...
3D數學基礎 向量
vector3.h hello 注釋 是否需要const修飾就是分析其資料是否需要修改，不需要修改就加const，安全性 一般有兩個地方需要考慮是否加const 1，成員函式引數處 2，成員函式本身，即類本身資料不允許修改 修飾的是this ifndef hello vector3 h define...
數學基礎 向量運算（叉乘）
向量的叉乘，即求同時垂直兩個向量的向量，即c垂直於a，同時c垂直於b a與c的夾角為90 b與c的夾角為90 以上圖為例a 1,0,0 b 0,1,0 c a b 0,0,1 叉乘的幾何意義 c a b a b sin 為a，b向量之間的夾角 c a,b向量構成的平行四邊形的面積 如下圖所示的平行四...