素數判定 Miller Rabin 演算法

談到素數判定，首先想到的兩種便是暴力判定與篩法，實現非常簡單，在此不提。

但在分解大質數時，由於數字過大，使得暴力判定會超時，篩法會超空間（可使用有技巧的限制空間篩法，但數字過大仍然過不了）

這時，我們就要引入非完美大質數判定演算法——miller rabin演算法。

下面一段引自sunshine_cfbsl部落格：

這是一種隨機性素數判定演算法，也就是說，答案可能出錯，但是可能性極小。

先是講兩個定理：

費馬小定理：

對於乙個質數p，取任意整數a，滿足gc

d(p,

a)=1

，則有 ap

−1≡1

(mod

p)二次探測定理： 對於0

<

x<

p ，若p是素數，則方程： x2

≡1(m

odp)

的解為： x1

=1,x

2=p−

1

a<

p ，不滿足ap

−1≡1

(mod

p)，則p為合數。

所以我們可以不斷在區間[2

,p−1

] 範圍內隨機取a，並進行判定。在s次判定不為合數之後，我們就可以說這個數是質數。

但是這還不夠精確，我們可以先把p−1分解成2t

×u(u

為奇數)

的形式，然後令x[0]=au

modp

,，那麼將x[0]平方t次就是(a

u)2t

modp

的值，我們設x[i]為x[0]平方i次的值，根據二次探測定理，若x[i]等於1，則x[i−1]等於1或p-1，不滿足則p為合數。

注意以上操作中所有的形如ab

modp

的式子都要用快速冪運算，當n比較大時，形如a×

bmod

p 的式子也要使用分治的思想來計算。

這就是miller-rabin演算法的主要內容。

時間複雜度：考慮常數後為o(

slog

3n)

1、二次探測定理是為了提高miller rabin的準確性而額外增加的，在少數題中可以略去，但建議加上（不加的反例可能會在以後提到）

2、在實際操作中，可以略去陣列，用雙變數滾動賦值即可

3、快速冪與快速乘（只是這麼叫而已。。。）的實現過程要簡略而準確，以免出現不必要的失誤

詳見**。

ll modmul(ll a,ll b,ll mod)//快速乘（又名：防爆乘法（瞎起的））

//與下快速冪原理類似，不贅述
ll qpow(ll x,ll u,ll mod)//快速冪，可以在對數複雜度內完成x^u計算
//分治思想，原理可以看網上部落格
bool miller_rabin(ll n)//n為待判斷數
//分解為上述形式
srand((long long)12234336);
for(i=1;i<=50;i++)
if(x!=1)return 0;
}return 1;
}

10 9以上素數判定，Miller Rabin演算法

include include include include include define ll long long using namespace std const int s 20 隨機演算法判定次數，s越大，判錯概率越小 ll ans 給定乙個數，判斷是否是素數 常用long long大數...

MillerRabin 快速的素數概率判定法

1.作用 快速判斷單個數是否為質數 2.原理 介紹費馬小定理 對於每乙個素數p，都有ap 1 1 modp 但是不是對於每乙個有ab 1 1 modb 的b都是素數 如果存在b滿足上述規則，那麼b有1 4的機率為素數 millerrabin通過多次隨機生成b並使用以上方法進行判斷，能把錯誤的機率降到...

素數判定的一些討論（Miller Rabin演算法）

很久沒有寫部落格了。最近軍訓加開學，感覺刷題速度有降低，要補一補。回歸正題，正式進入數論階段，討論一下關於素數判定的那些事。直接根據素數的定義列舉 i 從2到 n 1 如果n i 0 n 為合數。時間複雜度 o n bool is prime int n 發現若存在 i n 使得n i 0，則必有n...