迴圈不變式、數學歸納法和歸納推理從不同層次描述了知識發現的三種方式，這些方式既一脈相承又有所區別，本文希望能對其異同進行分析。
1、從歸納推理與演繹推理說起
根據辭海定義，歸納推理（inductive reasoning）是一種「從包含特殊性知識的前提推出包含一般性知識的結論的推理。這裡所說的特殊和一般都是相對而言的。完全歸納推理和科學歸納推理是必然性推理，簡單列舉歸納推理則是或然性推理。」簡單來說，歸納推理即從特殊性知識得到一般性知識，例如著名的「全世界所有的烏鴉都是黑的」，歸納推理從結論性質又可以分為必然性推理和或然性推理，必然性推理是說推理結果必然正確，或然性推理即結論不一定正確，或結論具有一定概率性（一部分物件可能正確，另一部分可能不正確）。必然性推理包括完全歸納推理和科學歸納推理，或然性推理指簡單列舉歸納推理。
演繹推理（deductive reasoning）與歸納推理正好相反，是一種「從包含一般性知識的前提推出包含特殊性知識的結論的推理。」演繹推理的結論具有必然性，主要有三段論、假言推理、選言推理等形式。
總結一下，歸納推理是從特殊知識到一般知識的論證方法，根據具體方法，結論可能正確可能不正確。演繹推理是從一般知識到特殊知識的論證方法，結論必然正確。歸納與演繹是人類認識的基本方式。直白點說，人類知識的源頭就是他們。而數學歸納法就屬於演繹推理，因此，數學歸納法的結論具有必然性。
2、數學歸納法和迴圈不變式的關係
數學歸納法是數學上證明與自然數n有關的命題的一種方法。必須包括兩步：
(1)驗證當n取第乙個自然數值n_0(如1，2等)時，命題正確；
(2)假設當n取某一自然數k時命題正確，以此推出當n=k+1時這個命題也正確。從而就可斷定命題對於從n_0開始的所有自然數都成立。
由此可知，數學歸納法的研究物件是自然數整體（0，1，2，...）有關命題，結論具有必然性。
迴圈不變式（loop invariant）屬於電腦科學的概念，它是指某段程式迴圈在迴圈前後該段程式的某種性質（通常指程式的正確性）保持不變。其分為三步：
（1）初始化（迴圈第一次迭代之前）的時候，a[1‥ j -1]的「有序性」是成立的；
（2）在迴圈的每次迭代過程中，a[1 ‥j -1]的「有序性」仍然保持；
（3）迴圈結束的時候，a[1 ‥ j-1]的「有序性」仍然成立。
容易看出，數學歸納法和迴圈不變式既有相同點也有不同點。
不同點：數學歸納法針針對無限迴圈的自然數，迴圈不變式針對有限的迴圈迭代；前者分為兩步，後者三步；前者應用範圍更廣，後者是前者在電腦科學領域的延伸。
數學歸納法
歸納 是一種從經驗事實中找出普遍特徵的認知方法。根據這個觀察，我們是不是可以大膽假設，前 n 個格仔的麥粒總數就是 2 1 呢？如果這個假設成立，那麼填滿 64 格需要的麥粒總數，就是 1 2 2 2 2 2 2 1 18446744073709551615。數學歸納法的一般步驟是這樣的 證明基本情...
什麼是歸納法 數學歸納法
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