這幾天一直在看博弈，一直想寫部落格，但又一直沒寫，感覺自己沒有搞懂sg函式，幾種簡單的博弈似乎是看懂了。。。但是sg函式到現在我還是在用著，但是我有些疑惑並不懂。
首先先貼一下幾個部落格，
第一就是kuangbin菊苣的部落格了：
這是他轉的：
這是他的一些題目：
這個上面的題我都刷了一遍，感覺是難度有點低
首先保證至少第乙個鏈結裡面的東西必須要完全理解才算入門吧
hdu
1846 : 簡單的bash博弈，簡單做2147：
乙個棋子在右上角，先要將其移到左下角，可以向左、下、左下方移動，依次博弈，可以發現也是乙個bash博弈，時間複雜度夠掃一遍，即可。2188：同理bash博弈
2149：
bash博弈，不過比最簡單的稍微複雜了一丟丟1847 :
bash博弈的變形，把能取牌的方式變成了2的冪次。2的指數增長很快，所以我們打表然後掃一下就好了1850:
nim博弈，求有多少種取法：**1848 :首先異或和不為0才能贏， 然後我們遍歷一下所有的堆：(其他堆異或和= sum^這一堆的數量) 我們在每一堆中取完後異或和都必須為0。所以統計一下每一堆是否可取就可以了。
nim博弈變形，能取的石頭數量變成了斐波那契數，我們把每一堆的sg函式跑出來，然後異或起來就可以了，至於為什麼可以這樣，我們在下面的sg函式解釋1849 ：
nim 博弈變形，我們只需要把每一顆棋子看成一堆石子，然後剩下的聰明的你應該就會了吧。1517：
p=1,每次可以*2~9 ， 先把p乘到》=n的人就贏了。這個問題由於n每次給的都不一樣，所以我們並不是很好預處理，不妨每次dfs 一遍即可，2的指數增長是很快的。1536sg[i]!=0 的條件是 在 j=i*2~*9裡面必須有乙個sg[j]=0，否則sg[i]=1.
* 如果我們轉換一下
* 有一堆石子 n 個
* 每次只能取 上一次取得石子的2~9 倍， 如果石子不夠就全部取走
* 取走最後一顆石子的玩家算贏
* 相當於 bash博弈
nim博弈變形，其實和1848是一樣的總結一下，兩個要點：題意：
先輸入k，代表集合s中有k個數，然後輸入k個數。
有m輪迴合，每一輪回合先輸入m表示有m堆石子，然後每一堆石子有多少個石子數，然後取法只能取s中的數字
但是這裡有乙個要注意的地方
在用來mex的函式(比如用flag)，一定要設定成bool，這樣能夠讓時間快上很多很多。用int可能會t
1.當時間空間不夠的時候不妨打表找找規律
2.bool 型別 就是比int 不知道快到**去了
給定乙個有向無環圖和乙個起始頂點上的一枚棋子，兩名選手交替的將這枚棋子沿有向邊進行移動，無法移 動者判負。事實上，這個遊戲可以認為是所有impartial combinatorial games的抽象模型。 即icg問題
也就是說，任何乙個icg都可以通過把每個局面看成乙個頂點，對每個局面和它的子局面連一條有向邊來抽象成這個「有向圖遊戲」。下 面我們就在有向無環圖的頂點上定義sprague-grundy函式。
首先定義mex(minimal excludant)運算，這是施加於乙個集合的運算，表示最小的不屬於這個集合的非負整數。例如mex=3、mex=0、mex{}=0。
這一部分，我到現在也沒完全理解為什麼要這麼做！，先繼續看 可以跳過我的猜想，先說下我的猜想：猜想是把這種狀態看成一堆石子，sg[i]只是代表i這堆石子有sg[i]個石頭，因為剩下的0<=j< i 的石頭數我們都能夠取到，正好符合下面所說的理念，也符合nim博弈
對於乙個給定的有向無環圖，定義關於圖的每個頂點的sprague-grundy函式sg如下：sg(x)=mex。
來看一下sg函式的性質。
1.首先，所有的terminal position所對應的頂點，也就是沒有出邊的頂點，其sg值為0，因為它的後繼集合是空集。
2.然後對於乙個g(x)=0的頂點x，它的所有前驅y都滿足 g(y)!=0。
3.對於乙個g(x)!=0的頂點，必定存在乙個後繼y滿足g(y)=0。
以上這三句話表明，頂點x所代表的postion是p-position當且僅當sg(x)=0（跟p-positioin/n-position的 定義的那三句話是完全對應的）也就是說我們可以根據來sg函式的值來判斷勝負手
我們通過計算有向無環圖的每個頂點的sg值，就可以對每種局面找到必勝策略了。但sg函式的用途遠沒有這樣簡單。如果將有 向圖遊戲變複雜一點，比如說，有向圖上並不是只有一枚棋子，而是有n枚棋子，每次可以任選一顆進行移動，這時，怎樣找到必勝策略呢？
讓我們再來考慮一下頂點的sg值的意義。當g(x)=k時，表明對於任意乙個0<=i< k，都存在x的乙個後繼y滿足g(y)=i。也 就是說，當某枚棋子的sg值是k時，我們可以把它變成0、變成1、……、變成k-1，但絕對不能保持k不變。不知道你能不能根據這個聯想到nim遊戲， nim遊戲的規則就是：每次選擇一堆數量為k的石子，可以把它變成0、變成1、……、變成k-1，但絕對不能保持k不變。這表明，如果將n枚棋子所在的頂 點的sg值看作n堆相應數量的石子，那麼這個nim遊戲的每個必勝策略都對應於原來這n枚棋子的必勝策略！
這段話很重要，耐心多看幾遍!有不理解的地方再讀幾遍，這些肯定都是對的。
其實我們還是只要證明這種多棋子的有向圖遊戲的局面是p-position當且僅當所有棋子所在的位置的sg函式的異或為0。這個證明與上節的bouton』s theorem幾乎是完全相同的，只需要適當的改幾個名詞就行了。
剛才，我為了使問題看上去更容易一些，認為n枚棋子是在乙個有向圖上移動。但如果不是在乙個有向圖上，而是每個棋子在乙個有向圖上，每次可以任選乙個棋子（也就是任選乙個有向圖）進行移動，這樣也不會給結論帶來任何變化。
如此一來就可以解釋 上面的兩道題，也可以解釋為什麼sg函式可以喝nim博弈相互動著使用。
bomb game所以我們可以知道mp[0][0]這一點的sg值肯定是0；sg函式的博弈。。。說有乙個n,m大小的棋盤，每個炸彈引爆之後可以往左邊和上方 **兩個炸彈，除非它位於最左方或者最上方就不能夠**。。。 當兩個炸彈位於同乙個位置時，他們會**，不**。 或者（1,1）這個位置永遠不會存在炸彈。。。 john先手，問輸贏關係。
然後第一行和第一列的sg值都是i(j)，可以看成一堆石子任意取。
然後對於矩形中的 mp[i][j]，這個石子的sg怎麼求呢？ 首先他左邊和上方的所有點sg值都必須已知，如果把它看成一堆石子，他可以分成的兩個炸彈就相當於很多後繼，我們就找到mex即相當於這一堆石子的數量，然後我們把所有炸彈（即一共的石子堆按nim博弈異或起來即可）
int getsg(int a,int b)
for(i=0;;i++)
}
博弈 SG函式和SG定理
在介紹sg函式和sg定理之前我們先介紹介紹必勝點與必敗點吧.必勝點和必敗點的概念 p點 必敗點，換而言之，就是誰處於此位置，則在雙方操作正確的情況下必敗。n點 必勝點，處於此情況下，雙方操作均正確的情況下必勝。必勝點和必敗點的性質 1 所有終結點是 必敗點 p 我們以此為基本前提進行推理，換句話說，...
博弈sg函式
sg函式 個人認為還是用於三種方法都無法解決的情況，如按特殊數字取石子 我們把整個博弈過程抽象為有向無環圖 1.幾項準備工作 mex求最小非負整數mex 0,mex 3,mex 0 sg x mex 就是石頭變少的繼 這樣sg就滿足幾個性質 1.sg x 0時，它的後繼都不為零 2.sg x 0時，...
博弈SG函式
題意 乙個棋盤有n行，每行20格仔，都有一些棋子，兩個人輪流進行這個操作 選擇某一行乙個棋子移動到該行右邊第乙個空的格仔。不能進行的人輸。問先手是否能贏。分析 sg函式的應用，當時自己做的時候沒做出來qaq。終結點是這一行沒有棋子可以走，即0，然後逆推出其他結點的sg函式。每一行的狀態看成是乙個結點...