對於函式y=f
(x
)y=f(x)
y=f(x)
,導數的定義是 f′(
x0)=
limδx
−>0f
(x0+
δx)−
f(x0
)δ
x(1)
f'(x_0)=\lim_ \frac \tag 1
f′(x0
)=δx
−>
0limδ
xf(x
0+δ
x)−f
(x0
)(1
)可以看到它本質是乙個極限, 是標量, 其幾何意義為 點x
0x_0
x0處的斜率.
自變數擴充套件為多元 x
\mathbb x
x 時, 可對某一維 x
ix_i
xi 單獨計算其導數∂f∂
xi
\frac
∂xi∂f
, 稱為 偏導數.
directional derivative. 很多時候, 僅有座標軸方向上的偏導數是不夠的, 我們還想知道任意方向上的導數, 稱為方向導數. 方向導數是向量.
空間中的任意方向, 是可以用各座標軸對應的基向量, 通過線性組合表示的. 同理, 方向導數可由各個維度的偏導數組合而來.
梯度是向量, 指向函式增長最快的方向. 其模表示斜率的大小.
深度學習中要求的是損失函式的最小值, 就是要沿著梯度的反方向迭代.
( xa
)′=a
xa−1
(x^a)'=ax^
(xa)′=
axa−1(a
x)′=
axln
a(a^x)'=a^xlna
(ax)′=
axln
a(sinx
)′
=cosx
(\sin x)'=\cos x
(sinx)
′=cosx
如果函式f連續，則二階偏導數的求導順序沒有區別，即∂∂x
(∂f∂
y)=∂
∂y(∂
f∂x)
\frac(\frac)=\frac(\frac)
∂x∂(∂
y∂f
)=∂y
∂(∂
x∂f
) 見參考[1].
機器學中的梯度下降與最優化求解
導數與微分
導數的定義 當函式 y f x 的自變數 x 在一點 x0 上產生乙個增量 x 時，函式輸出值的增量 y 與自變數增量 x 的比值在 x 趨於0時的極限 如果存在，即為在 x0 處的導數 導數公式定義為 導數的意義 物理意義 表示運動物體瞬時速度 即增量 y 除以自變數 x 基本求導公式 再來看一下...
全微分 偏導數 方向導數 梯度 全導數
就是對某一變數求導，把其他變數作為常數 可以認為偏導數是特殊的方向導數，是在自變數方向上的方向導數。任意方向導數為 方向導數是為了求函式值在某個點沿某個方向的變化率 梯度則是為了求函式值在某個點處變化率最大的方向，梯度由各個軸的偏導函式組成 全導數本質上就是一元函式的導數。他是針對復合函式而言的定義...
導數與梯度
導數 導數是乙個很熟悉也很容易想象到的概念，導數體現了函式在某點的瞬時變化率，也可表示切線斜率 高中時我們對y x 2求導的時候，實際上將其看作了一元函式，而y f x 是方程而不是函式，真正的函式是f x,y x y，是乙個曲面，只不過取了f x,y 0時候的特例。偏導數在二元函式f x,y 中由...