頂點資料經過模型變換、相機變換轉換到觀察空間，之後渲染系統引入視椎體的概念，並通過投影變換將視椎體轉換到統一裝置座標系中，方便剪裁和後續視窗對映工作。投影變換其實就是將不同對的視錐體對映到標準裝置座標的過程，投影變換過程中實際上並未實際計算頂點的ndc座標，而是在後面齊次除法中進行，不過投影變換的整個過程與之息息相關，應該說是作為乙個目標。
一般而言，常用的視錐體有兩種， 如下圖所示。視錐體一般由6個剪裁平面決定，包括近剪裁面和遠剪裁面
可以理解為乙個立方體，中心點在中間，x,
y,z
方向的範圍[−
1,1]
(opengl中，在有些文件中描述為cvv，傻傻的分不清楚了，但是表達的意思是相同的)，注意的是不同的api定義的ndc不盡相同，directx定義z
範圍為[0,
1]
,本文主要使用opengl的ndc座標範圍，不過整個推導過程相同。
轉換過程推導以opengl為準，也就是採用右手座標系，觀察方向位沿z軸負方向涉及的符號為不帶符號數，比如下文中近鄰面
z
座標
n
大於遠鄰面
f
設觀察空間中，視椎體的為[l
,r]×
[b,t
]×[f
,n]
，其中l
ndbnd
f平行視椎體 和ndc都是立方體，所以可以通過平移t(
t)和縮放s(
s)實現 ， 其過程如下圖所示t(
t)將視椎體中心移動到座標系中心，平移矩陣如下： t
(t)=
⎡⎣⎢⎢
⎢⎢⎢⎢
1000
0100
0010
−l+r
2−t+
b2−n
+f21
⎤⎦⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
s(s)
將平移後視椎體的(x
,y,z
) 轉換到[−1
,1]
區間， s(
s)=⎡
⎣⎢⎢⎢
⎢⎢2r
−l00
002t
−b00
002n
−f00
001⎤
⎦⎥⎥⎥
⎥⎥
所以轉換矩陣mo
th=s
(s)t
(t)=
⎡⎣⎢⎢
⎢⎢⎢⎢
2r−l
0000
2t−b
0000
2n−f
0r+l
r−lt
+bt−
bn+f
n−f1
⎤⎦⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
透視投影的特徵就是投影線都會經過視點，也就是攝像機中心，一般在計算中會將視椎體的近平面z=
n
作為成像平面。投影矩陣可以直接通過投影關係以及視錐體和ndc區間的關係建立方程求教獲得，可以參考mathematics for 3d game programming and computer graphics 第五章 。不過這裡採用另外一種方式，先將透視投影的視椎體轉換為平面投影的視椎體，然後再利用平行投影的視椎體獲得透視投影矩陣。
假設空間中一點的座標為p(p
x,py
,pz)
,其在$z = n 上的
投影點位
q(q_x , q_y,n)$ ， 根據比例關係可知：⎧⎩
⎨⎪⎪⎪
⎪qx=
npzp
xqy=
npzp
yqz=
n 上述過程可以實現將空間中點轉換到2d影象中，但點q(q
x,qy
,n)
的z
保持為n
， 實際上z
應該保持[n,
f]的區間，另一方面在光柵化過程中對1
z
進行插值，所以z
的變換函式應該是1
z
的線性函式，假設z
的變換函式為
=apz
+b
由z的區間對映關係[n
,f]→
[n,f
] 以得：{n=
an+b
f=af
+b
計算可得：{a
=−nf
b=n+
f 也就是說轉換函式為qz
=−nf
pz+(
n+f)
通過上面的推導，透視投影視椎體轉換為平行投影視椎體的過程可以表達為： ⎧
⎩⎨⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪qx
pz=n
pxqy
pz=n
pyqz
pz=(
n+f)
pz−n
fpz=
pz
用齊次座標表達以及轉換過程：⎡⎣
⎢⎢⎢⎢
qxpz
qypz
qzpz
pz⎤⎦
⎥⎥⎥⎥
=⎡⎣⎢
⎢⎢⎢q
xqyq
z1⎤⎦
⎥⎥⎥⎥
=⎡⎣⎢
⎢⎢⎢n
pxnp
y(n+
f)pz
−nfp
z⎤⎦⎥
⎥⎥⎥=
⎡⎣⎢⎢
⎢n00
00n0
000n
+f10
0−fn
0⎤⎦⎥
⎥⎥⎡⎣
⎢⎢⎢⎢
pxpy
pz1⎤
⎦⎥⎥⎥
⎥=mp
er→o
th⎡⎣
⎢⎢⎢⎢
pxpy
pz1⎤
⎦⎥⎥⎥
⎥
結合平行投影轉換矩陣，獲得透視投影轉換矩陣： m
pre=
moth
mper
→oth
即：mpre=
⎡⎣⎢⎢
⎢⎢⎢⎢
2nr−
l000
02nt
−b00
r+lr
−lt+
bt−b
n+fn
−f10
02nf
n−f0
⎤⎦⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
canonical view volume(cvv) 與 normalized device coordinaate(ndc)的關係，參考了幾本書中的描述，其實都有點混淆，包括rtr中也會同時出現這兩個概念，不過最終還是沒弄明白怎麼個區分方法，暫且當做乙個概念吧
z
投影前後的計算公式，好幾本書都是直接給出結論的，最後還是在mathematics for 3d game programming and computer graphics中找到具體的流程，也可以參考另外一篇ppt
總之，本文會有很多描述不清晰或者弄錯的地方，遇到的請幫忙指教。
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