我想看到這張的朋友都清楚，沒錯，the matrix。你敢想象我們的真實世界裡面的每乙個物件都是由獨特的大型矩陣所描述進而被操控麼？任何人的行為甚至思想都能夠通過矩陣所反映，對矩陣的變換，就是對事和人的真實改變，是不是很可怕！華納兄弟公司早在2023年就完成了對十多年後的研究熱點—–人工智慧的場景浮現，至少我自己認為是非常有眼光，出於偶然或者是必然地對這個世界完成了一次驚天思考！
今天的主題是線性代數。很大的話題，不是麼？作為剛剛走出校門的我，回憶往昔，線性代數歲月：愁。2023年，第一次系統學習了線性代數的知識，可以說只是記住了行變換、列變換等等和高中的解方程組沾邊的東西，至於說後面的相似矩陣、特徵值特徵向量，我是一概本著死記硬背考試夠用的原則，馬馬虎虎地混了過去。第二次學習是上了研究生，課程名稱是：矩陣論。其實，自我感覺，矩陣論就是比線性代數更高的一層，站在上面能夠看到更多，但是核心的東西，線性代數完全能夠勝任。第二次的學習，在巨大的教室、講話毫無語調製化的老師口中結束，收穫甚微。我覺得，很多任務科生在大學期間的必修課都包含了線性代數，提到現代，大部分學生不是厭煩就是有心無力，一臉迷茫。瑞典數學家l.戈丁在《數學概觀》（《encounter with mathematics》）裡面提到：「要是沒有線性代數，任何數學和初等教程都講不下去。按照現行的國際標準，線性代數是通過公理化來表述的，它是第二代數學模型，其根源來自於歐幾里得幾何、解析幾何以及線性代數方程組理論。」顯然，線性代數具有極其重要的作用，最起碼，它是底層自然規律與高等現代計算手段之間唯一的橋梁。「如果不熟悉線性代數的概念，像線性性質、向量、線性空間、矩陣等等，要去學習自然科學，現在看來就和文盲差不多，甚至可能學習社會科學也是如此」。長舒一口氣，當初怎麼沒學好呢。本次部落格先不過多講那些偏重於應用的各種特殊矩陣以及處理方法，重點是：
1. 空間
2. 線性空間
3. 向量
4. 矩陣
5. 重新理解
好了，現在開始：
提到空間，我們首先想到的就是我們生活在三維環境，站在數學的角度上看，這是乙個三維的歐幾里得空間。經過數學家們的不斷思考，他們用最凝練的語言描述空間的共同特點：
1、由無窮多的點組成；
2、不同點之間存在著可以描述的相對關係；
3、在空間中通過點定義長度、角度；
4、容納運動，或者更寬泛來講就是容納變換。
有句話叫做：「靜止是相對的，運動才是絕對的。」我們的思考起點，必須要做到「運動」，即變換是運動，狀態其實也是運動，只不過這個特殊的運動是從我們很難發覺的特殊起點開始的。這點我們將在後面講到。
線性空間的定義源於許多數學物件本身如何歸類，例如幾何向量、同型矩陣、實函式等等，它們滿足相同的計算規則，都能夠相加以及用數相乘，將它們稱為向量。向量的乙個集合v，如果對於v中的所有向量u、v和數a、b，滿足： f（
au+b
v）=a
f(u)
+bf(
v) ⎡
⎣⎢⎢⎢
⎢⎢a0
,0a1
,0⋮a
n−1,
0a0,
1a1,
1⋮an
−1,1
a0,2
a1,2
⋮an−
1,2⋯
⋯⋱⋯a
0,n−
1a1,
n−1⋮
an−1
,n−1
⎤⎦⎥⎥
⎥⎥⎥⎡
⎣⎢⎢⎢
⎢k0k
1⋮kn
−1⎤⎦
⎥⎥⎥⎥
=k0⎡
⎣⎢⎢⎢
⎢⎢a0
,0a1
,0⋮a
n−1,
0⎤⎦⎥
⎥⎥⎥⎥
+k1⎡
⎣⎢⎢⎢
⎢⎢a0
,1a1
,1⋮a
n−1,
1⎤⎦⎥
⎥⎥⎥⎥
+⋯+k
n−1⎡
⎣⎢⎢⎢
⎢⎢a0
,n−1
a1,n
−1⋮a
n−1,
n−1⎤
⎦⎥⎥⎥
⎥⎥上面的等式說明線性代數最最重要的乙個變換，就是線性組合。一組合適的基隱藏在了等式左邊的矩陣每乙個列向量當中，而那個座標隱藏在了等式左邊矩陣右乘的向量當中。按列取出每一列前面翻倍，就是這個線性組合的操作。這裡，有些人會問，那你說的空間裡面的物件在**？答案就是這個變換。物件就是變換，而變換產生了物件。我們在教材或者文獻當中看到的向量，其實只是描述物件的一部分，其餘的隱藏在其左側的那個透明矩陣當中，而這個矩陣可能是乙個叫做i的單位矩陣，可能是當時環境下的乙個基底矩陣，也就是那個矩陣的所有列向量都是預設的。這個觀點是否能夠解釋第一部分最後留下的小尾巴呢？
通過對線性空間的理解，我們進一步看看向量這個「標籤」：就像我們看到「奧迪汽車」，從我們的先驗知識庫中尋找到這四個漢字，再從這些漢字的組合上面獲取到其背後的語義，根據這個語義想象出實際的物體。向量的功能類似於標籤，它僅僅是一串有序排列的數字，想要對線性空間當中的物件進行描述，就必須搭配乙個基底，即那個左側的矩陣。相同的物件，其實可以由不同的矩陣和向量的組合來表達，反過來，不同的物件，可以由相同的向量和不同的基底組合表達。
到了現在，已經有人準備開始質疑：剛才說到，矩陣（我們考慮最常見的非奇異的方陣，因為這一類矩陣是幫助我們理解問題的主要形式，把握住了這一點，遇到其他的雜七雜八的不合格矩陣，我們再想辦法對付）的列向量如果是線性無關的，它們就能成為度量該線性空間的基，也就是該空間的完備座標體系，基於這個座標系，我們就可以使用某乙個向量描述這個空間內的任何物件了。從這個方面理解，結論是：矩陣描述了乙個座標系。那為什麼矩陣還能夠描述變換呢？難道這裡存在什麼矛盾嗎？到這裡，教科書上面從來不講的東西就引出來了：運動（變換）是相對的。也就是說，座標系下面物件的變換與固定物件去變換座標系是完全等價的。舉個栗子：
考察 ma=
b 理解1：向量
a 經過
m描述的變換成為了向量
b ;
理解2：空間內有乙個物件，它在
m的座標系下座標值是
a ，而它在
i座標系下座標值是
b 。
神奇的矩陣，神奇的向量，它們的幕後其實就是線性空間裡面的那個物件！石爛松枯，斗轉星移，不變的是那個物件，任憑矩陣和向量如何改變。但是，就像浩瀚的宇宙之中的星球，雖然對於它們擁有極大的自由空間，但是仍舊逃脫不了執行的軌道，只能乖乖地服從宇宙規律。這個規律其實就是矩陣乘法。請看pq
兩個矩陣相乘，從變換的角度來看，就是對
q 的每乙個列向量進行
p描述的變換；從座標系的觀點來看，就是在
p 座標系下的
q座標繫在
i 座標系下的各個分量是pq
。所以，到這一步，我們應該可以理解為什麼矩陣和向量的乘法要那麼定義，而矩陣的乘法就是在此基礎上進行的擴充套件。一切的根源來自於為了唯
一、準確地描述出那個幕後的物件！
線性代數給我的感覺是形式大於內容，我們喜歡沉浸在不同形式之間的轉換，玩小技巧，盡自己最大的可能去揭開掩蓋真實世界的幕布，讓人們更直觀地觀察到本真的世界。《駭客帝國》揭示的也許是人性的本真，這個物件需要很多的矩陣共同作用，發生諸如愛情、**等的變換才能實現。作為搞工程的我，還是希望對自然規律的理解和利用要更和善，更樸素。
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線性代數入門 1 什麼是線性代數？
線性代數幾乎是每個學理工科的大學生都會學的一門課，然而我感覺大家對這門課的感覺都不怎麼好，很多人都覺得不知道線性代數是做什麼的，或者為了應付考試學會了一些計算和解題的方法。但在其他課程學習中卻常常看到那些矩陣 向量等等，便頭疼萬分，對線性代數更是深惡痛絕。最後乙個大學學下來，還是沒明白線性代數是什麼...
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