在最短路徑問題中，給定乙個帶權重的有向圖g=(v,e)和權重函式w：e→r，該權重函式將每條邊對映到實數值的權重上。圖中一條路徑p=[v0,v1,•••,vk]的權重w(p)是構成該路徑的所有邊的權重之和。定義從結點u到結點v的最短路徑權重δ=(u,v)，從結點u到結點v的最短路徑則定義為任何一條權重w(p)= δ=(u,v)的從u到v的路徑p。
最短路徑存在幾個變體：
最短路徑演算法通常依賴最短路徑的乙個重要性質：兩個結點之間的一條最短路徑包含著其它的最短路徑。在某些單源最短路徑問題中可能包括權重為負值的邊。如果從結點s到結點v的某條路徑上存在權重為負值的環路，則定義δ=(u,v)=-∞。
在通常情況下，不但需要計算出最短路徑權重，還需要計算出最短路徑上的結點。給定圖g=(v,e)，對於每個結點v，維持乙個前驅結點v.π，該前去結點可能是另乙個結點或者nil。最短路徑演算法將對每個結點的π屬性進行設定，這樣，將從結點v開始的前驅結點鏈反轉過來，就是從s到v的一條最短路徑。給定結點v，且v.π≠nil，print_pat(g,s,v)列印出的就是從結點s到結點v 的一條最短路徑。
但是，在執行最短路徑演算法的過程中，π值並不一定能給出最短路徑。定義結點集vπ為圖g中的前驅結點不為nil的結點的集合，再加上源結點s，即vπ=∪。有向邊集合eπ是由vπ中的結點的π值所誘導的邊的集合，即eπ=}。
單源最短路徑演算法所生成的π值具有如下性質：在演算法終止時，gπ是一棵「最短路徑樹」。非形式化的說，最短路徑樹是一棵具有根結點的樹，該樹包括了從源結點s到每個可以從s到達的結點的一條最短路徑。設g=(v,e)是帶權重的有向圖，其權重函式為w：e→r，假定g不包含從s可以到達的權重為負值的環路。一棵根結點為s的最短路徑樹是乙個有向子圖g』=(v』,e』)，滿足：
需要指出的是，最短路徑不一定是唯一的，最短路徑樹葉不一定是唯一的。
對於每個結點v來說，為乙個屬性v.d用來記錄從源結點s到結點v的最短路徑權重的上界，稱v.d為s到v的最短路徑估計。使用如下的演算法來對最短路徑估計和前驅結點進行初始化：
initialize_single_source(g, s)
for each vertex v ∈ g.v
v.d = ∞
v.π = nil
s.d = 0
relax(u,v,w)
if v.d > u.d + w(u,v)
v.d = u.d + w(u,v)
v.π = u
bellman-ford演算法解決的是一般情況下的單源最短路徑問題，邊的權重可以為負值。給定帶權重的有向圖g=(v,e)和權重函式w:e→r，bellman-ford演算法返回乙個布林值，以表明是否存在乙個從源結點可以到達的權重為負值的環路。如果存在這樣的乙個環路，演算法將告訴我們不存在解決方案。如果沒有這種環路存在，演算法將給出最短路徑和它們的權重。
bellman-ford演算法通過對邊進行鬆弛操作來漸近的降低從源結點s到每個節點v的最短路徑的估計值v.d，知道該估計值與實際的最短路徑權重δ(s,v)相同時為止。該演算法返回true值當且僅當輸入圖不包含可以從源結點到達的權重為負值的環路。
bellman_ford(g, w, s)
initialize_single_source(g, s)
for i = 1
to |g.v – 1|
foreach edge(u,v) ∈g.e
relax(u, v, w)
foreach edge(u,v) ∈ g.e
if v.d > u.d + w(u,v)
return
false
return
true
dijkstra演算法解決的是帶權重的有向圖上單源最短路徑問題，該演算法要求所有邊的權重都為非負值。
dijkstra演算法在執行過程中維持的關鍵資訊是一組結點集合s。從源結點s到該集合中每個結點之間的最短路徑已經被找到。演算法重複從結點集v-s中選擇最短路徑估計最小的結點u，將u加入到集合s，然後對所有從u出發的邊進行鬆弛。使用乙個最小優先佇列q來儲存集合，每個結點的關鍵值為其d值。
dijkstra(g, w, s)
initialize_single_source(g, s)
s = null
q = g.v
while q ≠ null
u = extract_min(q)
s = s ∪
foreach vertex v ∈ g.adj[u]
relax(u, v, w)
根據結點的拓撲排序次序來對帶權重的有向無環圖g=(v,e)進行邊的鬆弛操作，便可以計算出從單個源結點到所有結點之間的最短路徑。在有向無環圖中，即使存在權重為負值的邊，但因為沒有權重為負值的環路，最短路徑都是存在的。
首先對有向無環圖進行拓撲排序，確定結點之間的乙個線性次序。如果有向無環圖包含從結點u到結點v的一條路徑，則v在拓撲排序的次序中位於結點v的前面。只需要按照拓撲排序的次序對結點進行一遍處理即可。每次對乙個結點進行處理時，對從該結點出發的所有的邊進行鬆弛操作。
dag_shortest_paths(g, w, s)
topologically sort
the vertices of g
initialize_single_source(g, s)
foreach vertex u, taken in topologically sorted order
foreach vertex v ∈ g.adj[u]
relax(u, v, w)
單源最短路徑
include define max 999 define maxverts 10 typedef struct graph void chushi graph g void dij graph int key,int int int main for i 1 i g.numverts i dij ...
單源最短路徑
最優子結構 最短路徑的子路徑也是最短路徑，動態規劃和貪心演算法的乙個重要指標。環路 一條最短路徑不可能包含環路 1 環路權重為負，如果有一條環路權重為負，則不存在最短路徑 2 環路權重為零，如果包含該環路，則將該環路去掉即可 3 環路權重為正，去掉改環路可以得到更短的路徑，因此不可能是最短路徑 最短...
單源最短路徑
單源最短路徑問題，即在圖中求出給定頂點到其他任一頂點的最短路徑。1.最短路徑的最優子結構性質 該性質描述為 如果p i,j 是從頂點i到j的最短路徑，k和s是這條路徑上的乙個中間頂點，那麼p k,s 必定是從k到s的最短路徑。證明 假設p i,j 是從頂點i到j的最短路徑，則有p i,j p i,k...