求0到n之間所有數字中1的個數和

計算4 000 000 000以內的最大的那個f(n)==n的值，函式f的功能是統計0到n之間所有數字中1的個數和。

這道題需要解決2個問題，求數字1的個數和以及求最大的f(n)=n。

一、子問題1：求數字1的個數和

如果n是一位數,可以確定f(n)=1。

如果是二位數,如果 n=13，那麼從 1 到 13 的所有數字：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13，個位和十位的數字上都可能有 1，我們可以將它們分開來考慮，個位出現 1 的次數有兩次：1 和 11，十位出現 1 的次數有 4 次：10、11、12 和 13，所以 f（n）=2+4=6。要注意的是 11 這個數字在十位和個位都出現了 1，但是 11 恰好在個位為 1 和十位為 1 中被計算了兩次，所以不用特殊處理，是對的。再考慮 n=23 的情況，它和 n=13 有點不同，十位出現 1 的次數為 10 次，從 10 到 19，個位出現 1 的次數為 1、11 和 21，所以f（n）=3+10=13。

通過對兩位數進行分析，我們發現，個位數出現 1 的次數不僅和個位數字有關，還和十位數有關：如果 n 的個位數大於等於 1，則個位出現 1 的次數為十位數的數字加 1；如果n 的個位數為 0，則個位出現 1 的次數等於十位數的數字。而十位數上出現 1 的次數不僅和十位數有關，還和個位數有關：如果十位數字等於 1，則十位數上出現 1 的次數為個位數的數字加 1；如

果十位數大於 1，則十位數上出現 1 的次數為 10。

f(13) = 個位出現1的個數 + 十位出現1的個數 = 2 + 4 = 6；

f(23) = 個位出現1的個數 + 十位出現1的個數 = 3 + 10 = 13；

f(33) = 個位出現1的個數 + 十位出現1的個數 = 4 + 10 = 14；

… f(93) = 個位出現1的個數 + 十位出現1的個數 = 10 + 10 =20；

接著分析 3 位數,

如果 n = 123：

個位出現 1 的個數為 13：1, 11, 21, …, 91, 101, 111, 121

十位出現 1 的個數為 20：10～19, 110～119

百位出現 1 的個數為 24：100～123

f（23）= 個位出現 1 的個數 + 十位出現 1 的個數 + 百位出現 1 的次數 = 13 + 20 + 24 = 57；同理我們可以再分析 4 位數、位數。

根據上面的一些嘗試，下面我們推導出一般情況下，從 n 得到 f（n）的計算方法：

假設 n=abcde，這裡 a、b、c、d、e 分別是十進位制數 n 的各個數字上的數字。如果要計算百位上出現 1 的次數，它將會受到三個因素的影響：百位上的數字，百位以下（低位）的數字，百位（更高位）以上的數字。

（1）如果百位上的數字為 0，則可以知道，百位上可能出現 1 的次數由更高位決定，比如 12 013，則可以知道百位出現 1 的情況可能是 100～199，1 100～1 199，2 100～2 199，…，11 100~11 199，一共有 1 200 個。也就是由更高位數字（12）決定，並且等於更高

位數字（12）×當前位數（100）。

（2）如果百位上的數字為 1，則可以知道，百位上可能出現 1 的次數不僅受更高位影響，還受低位影響，也就是由更高位和低位共同決定。例如對於 12 113，受更高位影響，百位出現 1 的情況是 100～199，1 100～1 199，2 100～2 199，…，11 100~11 199，一共 1 200個，和上面第一種情況一樣，等於更高位數字（12）×當前位數（100）。但是它還受低位影響，百位出現 1 的情況是 12 100～12 113，一共114 個，等於低位數字（123）+1。

（3）如果百位上數字大於 1（即為 2~9），則百位上可能出現 1的次數也僅由更高位決定，比如 12 213，則百位出現 1 的可能性為：100～199，1 100～1 199，2 100～2 199，…，11 100～11 199，12 100～12 199，一共有 1 300 個，並且等於更高位數字+1（12+1）

×當前位數（100）。

二、子問題2：求最大的f(n)==n

如果對0~n的所有資料進行列舉驗證f(i)=i，效率會非常低，特別是n非常大的時候，比如本題的4000000000。

所以應該通過恰當的方法快速去除那些不可能的資料，剪枝思想就是尋找過濾條件，提前減少不必要的搜尋路徑。

以下是過濾條件的由來：

（1）當f(n)>n的時候，令c=f(n)-n>0，設b屬於[0,c)，即0 <=b < c。因為f(n)是乙個非遞減函式，當n2>n1時，必有f(n2)>=f(n1)。那麼有f(n+b)>=f(n)。又因為b < c且c=f(n)-n，所以b < f(n)-n，得出f(n)>n+b。最後得出f(n+b)>=f(n)>n+b。

也就是說只要b屬於[0,c)，當n遞增b的時候，必定有f(n+b)>n+b。因此這些值都可以被剪枝忽略掉。我們取b的上確界值c來說。則有f(n+c)>=f(n)>=n+c。這時才可能出現f(n+c)=n+c的情況。這裡是可能，而不是一定。

所以當f(n)>n的時候，選取遞增步長c=f(n)-n，令n=n+c=n+f(n)-n=f(n)。

（2）當f(n) < n的時候，題目給的上限是4 000 000 000，這是乙個10位數。可以得出結論，當n增加1的時候，f(n)最多增加10。這是一種極端情況，即新增加的那個數是1 111 111 111，所以多了10個1，那麼f(n)最多增加10。目前，選取某個步長b，當n+b時，依然有f(n+b) < n+b，但是依然迅速逼近f(n)==n。

假設現在f(n1) < n1，那麼想要達到f(n1)=n1的情況。f(n1)至少得增加n1-f(n1)，而此時，在之前推出的結論基礎上(當n增加1的時候，f(n)最多增加10)，可以得出n1最少增加了(n1-f(n1))/10 +1。令n1增加後的結果記為n2=n1+(n1-f(n1))/10 +1。

因此n2 > n1，所以f(n2)>=f(n1)，而f(n2)=f < f(n1)+n1-f(n1)=n1。所以n2>n1>f(n2)。

因此，當f(n) < n的時候，取步長為(n-f(n))/10 +1，這樣的話可以迅速逼近f(n)==n。

//
// created by huxijie on 17-3-14.
// 求f(n)=n
#include 
using
namespace
std;
//求0到n之間所有數字中1的個數和
unsigned
long fun(unsigned
long n) 
ifactor *= 10;
}return icount;
}unsigned
long getmaxfunequaln(unsigned
long upperbound) else 
}return max;
}int main()

求0到n之間所有數字中1的個數和

統計所有0到n之間所有含有數字1的數字和

統計1到n之間的所有數字中1出現的個數

統計0到n之間1的個數

求0到n之間所有數字中1的個數和

統計所有0到n之間所有含有數字1的數字和

統計1到n之間的所有數字中1出現的個數

統計0到n之間1的個數

相關推薦