有這樣乙個函式f(n),對於任意正整數n,它表示從 0 到 n 之間出現「1」的個數,比如 f(1) = 1, f(13) = 6,請列出從 1 到 1234567890 中所有的 f(n) = n 的n, 要求準確快速.
相信很多人都能立刻得出以下的解法：
for(n:n)
這是最直接的解法，但遺憾的是，時間複雜程度為o(n*logn)。因為還需要迴圈判斷當前的n的各位數，該判斷的時間複雜程度為o(logn)。
接下來就應該思考效率更高的解法了。說實話，這道題讓我想起另外一道簡單的演算法題：
n為正整數，計算從1到n的整數和。
很多人都採用了迴圈求解。然後利用初等數學知識就知道s=n*(n+1)/2，所以用o(1)的時間就可以處理。
再回到本道題目，同理應該去尋找到結果r與n之間的對映關係。
分析如下：
假設n表示為a[n]a[n-1]…a[1]，其中ai表示n的各位數上的數字。
c[i]表示從整數1到整數a[i]…a[1]中包含數字1的個數。
x[i]表示從整數1到10^i - 1中包含數字1的個數，例如，x[1]表示從1到9的個數，結果為1；x[2]表示從1到99的個數，結果為20；
當a[1]=0時，c[1] = 0;
當a[1]=1時，c[1] = 1;
當a[1]>1時，c[1] = 1;
當a[2]=1時，c[2] = a[1] +1+ c[1] + x[1];
當a[2]>1時，c[2] = a[2]*x[1]+c[1]+10;
當a[3]=1時，c[3] = a[2]*a[1] +1+ c[2] + x[2];
當a[3]>1時，c[3] = a[3]*x[2]+c[2]+10^2;
以此類推
當a[i]=1時，c[i] = a[i-1]*…*a[1] +1+ c[i-1]+x[i-1];
當a[i]>1時，c[i] = a[i]x[i-1]+c[i-1]+10^(i-1);
解法一：
給定乙個十進位制正整數 n，寫下從 1 開始，到 n 的所有整數，
然後數一下其中出現的所有「1」的個數。
例如：
n= 2，寫下 1，2。這樣只出現了 1 個「1」。
n= 12，我們會寫下 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12。這樣，1的個數是 5。
問題是：
寫乙個函式f(n) 返回1到n之間出現的「1」的個數,比如f(12)=5。
這個問題看上去並不是乙個困難的問題，因為不需要太多的思考，大家都能找到乙個最簡單的方法來計算 f（n），那就
是從1開始遍歷到n,將其中每乙個數中含有「1」的個數加起來，
自然就得到了從1到n所有「1」的個數的和.（**見最後）
但是這個演算法的致命問題是效率，它的時間複雜度是o（n）×計算乙個整數數字裡面「1」的個數的複雜度 = o（n *log2 n）,如果給定的 n 比較大，則需要很長的運算時間才能得到計算結果。我試著輸入100000000,一共用了大概12秒,貌似有點長,不夠比作者說的40s快多了,作者的電腦有點舊…….- .-
解法二先從一些簡單的情況開始觀察:
如果n是一位數,可以確定f(n)=1
如過是二位數,如果 n=13，那麼從 1 到 13 的所有數字：1、2、3、4、5、6、
7、8、9、10、11、12、13，個位和十位的數字上都可能有 1，我們可以將它們分開來考慮，個位出現 1 的次數有兩次：1 和 11，十位出現 1 的次數有 4 次：10、11、12 和 13，所以 f（n）=2+4=6。要注意的是 11 這個數字在十位和個位都出現了 1， 但是 11 恰好在個位為 1 和十位為 1 中被計算了兩次，所以不用特殊處理，是對的。再考慮 n=23 的情況，它和 n=13 有點不同，十位出現 1 的次數為 10 次，從 10 到 19，個位出現 1 的次數為 1、11 和 21，所以f（n）=3+10=13。通過對兩位數進行分析，我們發現，個位數出現 1 的次數不僅和個位數字有關，還和十位數有關：如果 n 的個位數大於等於 1，則個位出現 1 的次數為十位數的數字加 1；如果n 的個位數為 0，則個位出現 1 的次數等於十位數的數字。而十位數上出現 1 的次數不僅和十位數有關，還和個位數有關：如果十位數字等於 1，則十位數上出現 1 的次數為個位數的數字加 1；如
果十位數大於 1，則十位數上出現 1 的次數為 10。
f(13) = 個位出現1的個數 + 十位出現1的個數 = 2 + 4 = 6；
f(23) = 個位出現1的個數 + 十位出現1的個數 = 3 + 10 = 13；
f(33) = 個位出現1的個數 + 十位出現1的個數 = 4 + 10 = 14；
… f(93) = 個位出現1的個數 + 十位出現1的個數 = 10 + 10 =
20；接著分析 3 位數,
如果 n = 123：
個位出現 1 的個數為 13：1, 11, 21, …, 91, 101, 111, 121
十位出現 1 的個數為 20：10～19, 110～119
百位出現 1 的個數為 24：100～123
f（23）= 個位出現 1 的個數 + 十位出現 1 的個數 + 百位出現 1 的次數 = 13 + 20 + 24 = 57；同理我們可以再分析 4 位數、 位數。 根據上面的一些嘗試，下面我們推導出一般情況下，從 n 得
到 f（n）的計算方法： 假設 n=abcde，這裡 a、b、c、d、e 分別是十進位制數 n 的各個數字上的數字。如果要計算百位上出現 1 的次數，它將會受到三個因素的影響：百位上的數字，百位以下（低位）的數字，百
位（更高位）以上的數字。如果百位上的數字為 0，則可以知道，百位上可能出現 1 的次
數由更高位決定，比如 12 013，則可以知道百位出現 1 的情況可能
是 100～199，1 100～1 199，2 100～2 199，…，11 100~11 199，
一共有 1 200 個。也就是由更高位數字（12）決定，並且等於更高
位數字（12）×當前位數（100）。
如果百位上的數字為 1，則可以知道，百位上可能出現 1 的次數不僅受更高位影響，還受低位影響，也就是由更高位和低位共同決定。例如對於 12 113，受更高位影響，百位出現 1 的情況是 100～199，1 100～1 199，2 100～2 199，…，11 100~11 199，一共 1 200個，和上面第一種情況一樣，等於更高位數字（12）×當前位數（100）。但是它還受低位影響，百位出現 1 的情況是 12 100～12 113，一共14 個，等於低位數字（13）+1。 如果百位上數字大於 1（即為 2~9），則百位上可能出現 1的次數也僅由更高位決定，比如 12 213，則百位出現 1 的可能性為：100～199，1 100～1 199，2 100～2 199，…，11 100～11 199，12 100～12 199，一共有 1 300 個，並且等於更高位數字+1（12+1）
×當前位數（100）。通過上面的歸納和總結，我們可以寫出如下的更高效演算法來。
計算 f（n）：
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
int count1(int n);
int count2(int n);
int main(void)
//解法一
int count1(int n)
} return count;
}//解法二：
int count2(int n)
factor *= 10;
} return count;
}
計算1到N中包含數字1的個數
mark n為正整數，計算從1到n的所有整數中包含數字1的個數。比如，n 10，從1，2.10，包含有2個數字1。相信很多人都能立刻得出以下的解法 for n n 這是最直接的解法，但遺憾的是，時間複雜程度為o n logn 因為還需要迴圈判斷當前的n的各位數，該判斷的時間複雜程度為o logn 接...
計算N 末尾所包含0的個數
問題描述 給定乙個整數n，求出n 末尾有多少個0？計算公式 令f x 表示正整數x末尾所包含0的個數，則有 當0 當n 5時，f n k f k 其中k n 5 取整 公式推導 證明之前先熟悉乙個結論。結論 對於n 其因式分解中，如果存在乙個因子 5 那麼它必然對應n 末尾的乙個 0 下面證明這個結...
計算n 末尾所包含0的個數
例如，5！120，其末尾所含有的 0 的個數為1 10！3628800，其末尾所含有的 0 的個數為2 20！2432902008176640000，其末尾所含有的 0 的個數為4。這裡先給出其計算公式，後面給出推導過程。令f x 表示正整數x末尾所含有的 0 的個數，則有 當0 n 5時，f n ...