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最小生成樹顧名思義，首先是一棵樹，而「最小」的含義是指其邊長之和最小，其常用演算法有prim（普里姆）演算法和kruskal（克魯斯卡爾）演算法兩種。那麼，最小生成樹能解決什麼問題？這兩種演算法分別是如何實現的？
我們不妨從實際問題開始著手：在n個城市之間鋪設光纜，城市間鋪設光纜的費用各不相同，現要求任意兩個城市可以通訊，求鋪設光纜的最小花費。
根據題目描述，我們可以將城市作為節點，城市間以邊相連，光纜鋪設費用則為邊長，構成無向圖。求最小鋪設費用即等價於求出這張無向圖的最小生成樹。現假設有a、b、c、d共4個城市，城市間光纜鋪設費用分別為ab = 8，ac = 1，ad = 6，bc = 3，bd = 2，cd = 5。下面分別講一下prim和kruskal這兩種演算法的實現思路。
prim演算法該演算法可以從任意節點開始建樹。一句話概括其演算法思想為：從原點開始，每次新增與當前最小生成樹相連且不成環的最短邊，直到新增所有節點為止。這裡我們從a節點開始推進演算法，步驟如下圖所示：
以a為最初的最小生成樹開始，首先新增與之相連不成環且最短的ac邊，然後按規則依次新增bc、bd邊，所有節點均已新增，因此演算法結束，最小花費為1 + 3 + 2 = 6。一般情況下，prim演算法的時間複雜度為o(v^2)。
kruskal演算法一句話概括該演算法的基本思想為：每次從待選邊集中選出與當前森林不成環且最短的邊加入森林，直到所有節點形成一顆樹為止。該思想決定了kruskal演算法只能從最小的邊開始建樹，演算法推進步驟如下圖所示：
從最短的ac邊開始建樹，首先將ac邊加入森林，然後按規則依次加入bd、bc邊，所有節點已構成一棵樹，因此演算法結束，最小花費同樣為1 + 2 + 3 = 6。這裡需要用到排序，一般情況下我們使用快排，因此kruskal演算法的時間複雜度為o(eloge)。
值得一提的是，稠密圖（邊數較多）適合用prim演算法，而稀疏圖則適合用kruskal演算法。敬請期待下節內容。
最小生成樹基礎演算法
prim演算法求最小生成樹 與dijkstra演算法類似，dijkstra演算法是計算乙個節點到其他節點的最短路，prim演算法是需要維護節點到乙個集合的距離最小值，優化方式也是類似的，只需要用堆來維護距離即可 include using namespace std const int n 510,...
演算法總結篇 最小生成樹
目錄算是最後幾個完成這一章節學習的了，有很多思想和技巧都很好，需要好好學習 主要涉及兩個演算法 prim 演算法和 kruskal 演算法 感謝lsp為本文訂正做出的貢獻！先跑一遍 dij 求出 d i 再遍歷每個點，統計有幾種修建方案 然後根據乘法原理，求出所有方案數即可 感覺和最小生成樹沒半毛錢...
最小生成樹基礎
0.1 本文總結於 資料結構與演算法分析，源 均為原創，旨在 review 最小生成樹的基礎知識 0.2 了解本文的內容是 分析prim演算法 普利姆演算法 和 kruskal演算法 克魯斯卡爾演算法 的前提 1.1 我們考慮的問題 在乙個無向圖中找出一顆最小生成樹。乙個無向圖g的最小生成樹就是由該...