fft是離散傅利葉變換的快速演算法，可以將乙個訊號變換
到頻域。有些訊號在時域上是很難看出什麼特徵的，但是如
果變換到頻域之後，就很容易看出特徵了。這就是很多訊號
分析採用fft變換的原因。另外，fft可以將乙個訊號的頻譜
提取出來，這在頻譜分析方面也是經常用的。
雖然很多人都知道fft是什麼，可以用來做什麼，怎麼去
做，但是卻不知道fft之後的結果是什意思、如何決定要使用
多少點來做fft。
現在圈圈就根據實際經驗來說說fft結果的具體物理意義。
乙個模擬訊號，經過adc取樣之後，就變成了數碼訊號。取樣
定理告訴我們，取樣頻率要大於訊號頻率的兩倍，這些我就
不在此羅嗦了。
取樣得到的數碼訊號，就可以做fft變換了。n個取樣點，
經過fft之後，就可以得到n個點的fft結果。為了方便進行fft
運算，通常n取2的整數次方。
假設取樣頻率為fs，訊號頻率f，取樣點數為n。那麼fft
之後結果就是乙個為n點的複數。每乙個點就對應著乙個頻率
點。這個點的模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始
訊號的幅度有什麼關係呢？假設原始訊號的峰值為a，那麼fft
的結果的每個點（除了第乙個點直流分量之外）的模值就是a
的n/2倍。而第乙個點就是直流分量，它的模值就是直流分量
的n倍。而每個點的相位呢，就是在該頻率下的訊號的相位。
第乙個點表示直流分量（即0hz），而最後乙個點n的再下乙個
點（實際上這個點是不存在的，這裡是假設的第n+1個點，也
可以看做是將第乙個點分做兩半分，另一半移到最後）則表示
取樣頻率fs，這中間被n-1個點平均分成n等份，每個點的頻率
依次增加。例如某點n所表示的頻率為：fn=(n-1)*fs/n。
由上面的公式可以看出，fn所能分辨到頻率為為fs/n，如果
取樣頻率fs為1024hz，取樣點數為1024點，則可以分辨到1hz。
1024hz的取樣率取樣1024點，剛好是1秒，也就是說，取樣1秒
時間的訊號並做fft，則結果可以分析到1hz，如果取樣2秒時
間的訊號並做fft，則結果可以分析到0.5hz。如果要提高頻率
分辨力，則必須增加取樣點數，也即取樣時間。頻率解析度和
取樣時間是倒數關係。
假設fft之後某點n用複數a+bi表示，那麼這個複數的模就是
an=根號a*a+b*b，相位就是pn=atan2(b,a)。根據以上的結果，
就可以計算出n點（n≠1，且n<=n/2）對應的訊號的表示式為：
an/(n/2)*cos(2*pi*fn*t+pn)，即2*an/n*cos(2*pi*fn*t+pn)。
對於n=1點的訊號，是直流分量，幅度即為a1/n。
由於fft結果的對稱性，通常我們只使用前半部分的結果，
即小於取樣頻率一半的結果。
好了，說了半天，看著公式也暈，下面圈圈以乙個實際的
訊號來做說明。
假設我們有乙個訊號，它含有2v的直流分量，頻率為50hz、
相位為-30度、幅度為3v的交流訊號，以及乙個頻率為75hz、
相位為90度、幅度為1.5v的交流訊號。用數學表示式就是如下：
s=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)
式中cos引數為弧度，所以-30度和90度要分別換算成弧度。
我們以256hz的取樣率對這個訊號進行取樣，總共取樣256點。
按照我們上面的分析，fn=(n-1)*fs/n，我們可以知道，每兩個
點之間的間距就是1hz，第n個點的頻率就是n-1。我們的訊號
有3個頻率：0hz、50hz、75hz，應該分別在第1個點、第51個點、
第76個點上出現峰值，其它各點應該接近0。實際情況如何呢？
我們來看看fft的結果的模值如圖所示。
圖1 fft結果
從圖中我們可以看到，在第1點、第51點、和第76點附近有
比較大的值。我們分別將這三個點附近的資料拿上來細看：
1點： 512+0i
2點： -2.6195e-14 - 1.4162e-13i
3點： -2.8586e-14 - 1.1898e-13i
50點：-6.2076e-13 - 2.1713e-12i
51點：332.55 - 192i
52點：-1.6707e-12 - 1.5241e-12i
75點：-2.2199e-13 -1.0076e-12i
76點：3.4315e-12 + 192i
77點：-3.0263e-14 +7.5609e-13i
很明顯，1點、51點、76點的值都比較大，它附近的點值
都很小，可以認為是0，即在那些頻率點上的訊號幅度為0。
接著，我們來計算各點的幅度值。分別計算這三個點的模值，
結果如下：
1點： 512
51點：384
76點：192
按照公式，可以計算出直流分量為：512/n=512/256=2；
50hz訊號的幅度為：384/(n/2)=384/(256/2)=3；75hz訊號的
幅度為192/(n/2)=192/(256/2)=1.5。可見，從頻譜分析出來
的幅度是正確的。
然後再來計算相位資訊。直流訊號沒有相位可言，不用管
它。先計算50hz訊號的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,
結果是弧度，換算為角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再
計算75hz訊號的相位，atan2(192, 3.4315e-12)=1.5708弧度，
換算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可見，相位也是對的。
根據fft結果以及上面的分析計算，我們就可以寫出訊號的表達
式了，它就是我們開始提供的訊號。
總結：假設取樣頻率為fs，取樣點數為n，做fft之後，某
一點n（n從1開始）表示的頻率為：fn=(n-1)*fs/n；該點的模值
除以n/2就是對應該頻率下的訊號的幅度（對於直流訊號是除以
n）；該點的相位即是對應該頻率下的訊號的相位。相位的計算
可用函式atan2(b,a)計算。atan2(b,a)是求座標為(a,b)點的角
度值，範圍從-pi到pi。要精確到xhz，則需要取樣長度為1/x秒
的訊號，並做fft。要提高頻率解析度，就需要增加取樣點數，
這在一些實際的應用中是不現實的，需要在較短的時間內完成
分析。解決這個問題的方法有頻率細分法，比較簡單的方法是
取樣比較短時間的訊號，然後在後面補充一定數量的0，使其長度
達到需要的點數，再做fft，這在一定程度上能夠提高頻率分辨力。
具體的頻率細分法可參考相關文獻。
[附錄：本測試資料使用的matlab程式]
close all; %先關閉所有
adc=2; %直流分量幅度
a1=3; %頻率f1訊號的幅度
a2=1.5; %頻率f2訊號的幅度
f1=50; %訊號1頻率(hz)
f2=75; %訊號2頻率(hz)
fs=256; %取樣頻率(hz)
p1=-30; %訊號1相位(度)
p2=90; %訊號相位(度)
n=256; %取樣點數
t=[0:1/fs:n/fs]; %取樣時刻
%訊號s=adc+a1*cos(2*pi*f1*t+pi*p1/180)+a2*cos(2*pi*f2*t+pi*p2/180);
%顯示原始訊號
plot(s);
title('原始訊號');
figure;
y = fft(s,n); %做fft變換
ayy = (abs(y)); %取模
plot(ayy(1:n)); %顯示原始的fft模值結果
title('fft 模值');
figure;
ayy=ayy/(n/2); %換算成實際的幅度
ayy(1)=ayy(1)/2;
f=([1:n]-1)*fs/n; %換算成實際的頻率值
plot(f(1:n/2),ayy(1:n/2)); %顯示換算後的fft模值結果
title('幅度-頻率曲線圖');
figure;
pyy=[1:n/2];
for i="1:n/2"
pyy(i)=phase(y(i)); %計算相位
pyy(i)=pyy(i)*180/pi; %換算為角度
end;
plot(f(1:n/2),pyy(1:n/2)); %顯示相位圖
title('相位-頻率曲線圖');
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