最小二乘法

一.背景通過這段描述可以看出來，最小二乘法也是一種優化方法，求得目標函式的最優值。並且也可以用於曲線擬合，來解決回歸問題。難怪《統計學習方法》中提到，回歸學習最常用的損失函式是平方損失函式，在此情況下，回歸問題可以著名的最小二乘法來解決。看來最小二乘法果然是機器學習領域做有名和有效的演算法之一。

二. 最小二乘法

我們以最簡單的一元線性模型來解釋最小二乘法。什麼是一元線性模型呢？監督學習中，如果**的變數是離散的，我們稱其為分類（如決策樹，支援向量機等），如果**的變數是連續的，我們稱其為回歸。回歸分析中，如果只包括乙個自變數和乙個因變數，且二者的關係可用一條直線近似表示，這種回歸分析稱為一元線性回歸分析。如果回歸分析中包括兩個或兩個以上的自變數，且因變數和自變數之間是線性關係，則稱為多元線性回歸分析。對於二維空間線性是一條直線；對於三維空間線性是乙個平面，對於多維空間線性是乙個超平面...

對於一元線性回歸模型, 假設從總體中獲取了n組觀察值（x1，y1），（x2，y2）， …，（xn，yn）。對於平面中的這n個點，可以使用無數條曲線來擬合。要求樣本回歸函式盡可能好地擬合這組值。綜合起來看，這條直線處於樣本資料的中心位置最合理。選擇最佳擬合曲線的標準可以確定為：使總的擬合誤差（即總殘差）達到最小。有以下三個標準可以選擇：

（1）用「殘差和最小」確定直線位置是乙個途徑。但很快發現計算「殘差和」存在相互抵消的問題。

（2）用「殘差絕對值和最小」確定直線位置也是乙個途徑。但絕對值的計算比較麻煩。

（3）最小二乘法的原則是以「殘差平方和最小」確定直線位置。用最小二乘法除了計算比較方便外，得到的估計量還具有優良特性。這種方法對異常值非常敏感。

最常用的是普通最小二乘法（ ordinary least square，ols）：所選擇的回歸模型應該使所有觀察值的殘差平方和達到最小。（q為殘差平方和）- 即採用平方損失函式。

樣本回歸模型：

平方損失函式：

則通過q最小確定這條直線，即確定

根據數學知識我們知道，函式的極值點為偏導為0的點。

解得：

這就是最小二乘法的解法，就是求得平方損失函式的極值點。

三. c++實現**

1 /*
2 最小二乘法c++實現
3 引數1為輸入檔案
4 輸入 ： x
5 輸出： **的y 
6 */
7 #include8 #include9 #include10 using namespace std;
11 12 class leastsquare{
13 double a, b;
14 public:
15 leastsquare(const vector& x, const vector& y)
16 {
17 double t1=0, t2=0, t3=0, t4=0;
18 for(int i=0; ix;
51 ifstream in(argv[1]);
52 for(double d; in>>d; )
53 x.push_back(d);
54 int sz = x.size();
55 vectory(x.begin()+sz/2, x.end());
56 x.resize(sz/2);
57 leastsquare ls(x, y);
58 ls.print();
59 
60 cout<
61 double x0;
62 while(cin>>x0)
63 {
64 cout< 
四. 最小二乘法與梯度下降法
最小二乘法跟梯度下降法都是通過求導來求損失函式的最小值，那它們有什麼區別呢。
相同1.本質相同：兩種方法都是在給定已知資料（independent & dependent variables）的前提下對dependent variables算出出乙個一般性的估值函式。然後對給定新資料的dependent variables進行估算。
2.目標相同：都是在已知資料的框架內，使得估算值與實際值的總平方差盡量更小（事實上未必一定要使用平方），估算值與實際值的總平方差的公式為：
其中為第i組資料的independent variable，為第i組資料的dependent variable，為係數向量。
不同1.實現方法和結果不同：最小二乘法是直接對求導找出全域性最小，是非迭代法。而梯度下降法是一種迭代法，先給定乙個，然後向下降最快的方向調整，在若干次迭代之後找到區域性最小。梯度下降法的缺點是到最小點的時候收斂速度變慢，並且對初始點的選擇極為敏感，其改進大多是在這兩方面下功夫。
參考：

最小二乘法

最小二乘法

最小二乘法

最小二乘法

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