最小二乘法

2021-08-02 08:32:41 字數 1806 閱讀 4675

一.背景

通過這段描述可以看出來,最小二乘法也是一種優化方法,求得目標函式的最優值。並且也可以用於曲線擬合,來解決回歸問題。難怪《統計學習方法》中提到,回歸學習最常用的損失函式是平方損失函式,在此情況下,回歸問題可以著名的最小二乘法來解決。看來最小二乘法果然是機器學習領域做有名和有效的演算法之一。

二. 最小二乘法

我們以最簡單的一元線性模型來解釋最小二乘法。什麼是一元線性模型呢? 監督學習中,如果**的變數是離散的,我們稱其為分類(如決策樹,支援向量機等),如果**的變數是連續的,我們稱其為回歸。回歸分析中,如果只包括乙個自變數和乙個因變數,且二者的關係可用一條直線近似表示,這種回歸分析稱為一元線性回歸分析。如果回歸分析中包括兩個或兩個以上的自變數,且因變數和自變數之間是線性關係,則稱為多元線性回歸分析。對於二維空間線性是一條直線;對於三維空間線性是乙個平面,對於多維空間線性是乙個超平面...

對於一元線性回歸模型, 假設從總體中獲取了n組觀察值(x1,y1),(x2,y2), …,(xn,yn)。對於平面中的這n個點,可以使用無數條曲線來擬合。要求樣本回歸函式盡可能好地擬合這組值。綜合起來看,這條直線處於樣本資料的中心位置最合理。 選擇最佳擬合曲線的標準可以確定為:使總的擬合誤差(即總殘差)達到最小。有以下三個標準可以選擇:

(1)用「殘差和最小」確定直線位置是乙個途徑。但很快發現計算「殘差和」存在相互抵消的問題。

(2)用「殘差絕對值和最小」確定直線位置也是乙個途徑。但絕對值的計算比較麻煩。

(3)最小二乘法的原則是以「殘差平方和最小」確定直線位置。用最小二乘法除了計算比較方便外,得到的估計量還具有優良特性。這種方法對異常值非常敏感。

最常用的是普通最小二乘法( ordinary  least square,ols):所選擇的回歸模型應該使所有觀察值的殘差平方和達到最小。(q為殘差平方和)- 即採用平方損失函式。

樣本回歸模型:

平方損失函式:

則通過q最小確定這條直線,即確定

根據數學知識我們知道,函式的極值點為偏導為0的點。

解得:

這就是最小二乘法的解法,就是求得平方損失函式的極值點。

三. c++實現**

1 /*

2 最小二乘法c++實現

3 引數1為輸入檔案

4 輸入 : x

5 輸出: **的y

6 */

7 #include8 #include9 #include10 using namespace std;

11 12 class leastsquare \sum_^(\bar} )-y_)^ } " src="" style="border:none; max-width:100%"/>

其中不同1.實現方法和結果不同:最小二乘法是直接對全域性最小,是非迭代法。而梯度下降法是一種迭代法,先給定乙個區域性最小。梯度下降法的缺點是到最小點的時候收斂速度變慢,並且對初始點的選擇極為敏感,其改進大多是在這兩方面下功夫。

參考: 

原文**:

最小二乘法

include stdafx.h include include const int n 2 const int m 5 int sgn double x void lss double g n 1 int xm,int xn,double x m double p,double w m lss函式...

最小二乘法

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最小二乘法 least squares analysis 是一種 數學 優化 技術,它通過 最小化 誤差 的平方和找到一組資料的最佳 函式 匹配。最小二乘法是用最簡的方法求得一些絕對不可知的真值,而令誤差平方之和為最小。最小二乘法通常用於 曲線擬合 least squares fitting 這裡有...