(2012-09-16 19:12:37)
標籤：分類：圖論
介紹：
單源最短路徑的演算法最常用的是dijkstra，些演算法從時間複雜度來說為o（n^2),但是面對含有負權值的圖來說就無能為力了，此時dellman-ford演算法就有用了，這咱演算法是採用的是動態規化的思想，但是2023年西南交通大學段凡丁發表了spfa(shortest path faster algorithm)聽這個名字就懂了，這種演算法在時間上一定很快了。它是對dellman-ford的優化，所以建議今後直接學spfa。很多時候，給定的圖存在負權邊，這時類似dijkstra等演算法便沒有了用武之地，而bellman-ford演算法的複雜度又過高，spfa演算法便派上用場了。
補：然而實際上演算法時間複雜度很不穩定，有時候k可以達到指數級的，在稀疏圖上表現相對更好（因為是靠邊去推進的，而dijkstra是靠點）
思路：
簡潔起見，我們約定有向加權圖g不存在負權迴路，即最短路徑一定存在。當然，我們可以在執行該演算法前做一次拓撲排序，以判斷是否存在負權迴路，但這不是我們討論的重點。
和上文一樣，我們用陣列d記錄每個結點的最短路徑估計值，而且用鄰接表來儲存圖g。我們採取的方法是動態逼近法：設立乙個先進先出的佇列用來儲存待優化的結點，優化時每次取出隊首結點u，並且用u點當前的最短路徑估計值對離開u點所指向的結點v進行鬆弛操作，如果v點的最短路徑估計值有所調整，且 v點不在當前的佇列中，就將v點放入隊尾。這樣不斷從佇列中取出結點來進行鬆弛操作，直至佇列空為止。
定理3 只要最短路徑存在，上述spfa演算法必定能求出最小值。
證明：每次將點放入隊尾，都是經過鬆弛操作達到的。換言之，每次的優化將會有某個點v的最短路徑估計值d[v]變小。所以演算法的執行會使d越來越小。由於我們假定圖中不存在負權迴路，所以每個結點都有最短路徑值。因此，演算法不會無限執行下去，隨著d值的逐漸變小，直到到達最短路徑值時，演算法結束，這時的最短路徑估計值就是對應結點的最短路徑值。（證畢）
剛才我們只是籠統地說spfa演算法在效率上有過人之處，那麼到底它的複雜度是怎樣的？
定理4 在平均情況下，spfa演算法的期望時間複雜度為o(e)。
證明：上述演算法每次取出隊首結點u，並訪問u的所有臨結點的複雜度為o(d)，其中d為點u的出度。運用均攤分析的思想，對於|v|個點|e|條邊的圖，點的平均出度為，所以每處理乙個點的複雜度為o( )。假設結點入隊的次數h，顯然h隨圖的不同而不同。但它僅與邊的權值分布有關。我們設 h=kv，則演算法spfa的時間複雜度為。在平均的情況下，可以將k看成乙個比較小的常數，所以spfa演算法在一般情況下的時間複雜度為o(e)。（證畢）
聰明的讀者一定發現了，spfa和經過簡單優化的bellman-ford無論在思想上還是在複雜度上都有相似之處。確實如此。兩者的思想都屬於標號修正的範疇。演算法是迭代式的，最短路徑的估計值都是臨時的。演算法思想是不斷地逼近最優解，只在最後一步才確定想要的結果。但是他們實現的方式上存在差異。正因為如此，它們的時間複雜度其實有較大差異的。在bellman-ford演算法中，要是某個點的最短路徑估計值更新了，那麼我們必須對所有邊指向的終點再做一次鬆弛操作；在spfa演算法中，某個點的最短路徑估計值更新，只有以該點為起點的邊指向的終點需要再做一次鬆弛操作。在極端情況下，後者的效率將是前者的n倍，一般情況下，後者的效率也比前者高出不少。基於兩者在思想上的相似，可以這樣說，spfa演算法其實是bellman-ford演算法的乙個進一步優化的版本。
演算法流程
演算法大致流程是用乙個佇列來進行維護。初始時將源加入佇列。每次從佇列中取出乙個元素，並對所有與他相鄰的點進行鬆弛，若某個相鄰的點鬆弛成功，則將其入隊。直到隊列為空時演算法結束。
這個演算法，簡單的說就是佇列優化的bellman-ford,利用了每個點不會更新次數太多的特點發明的此演算法
spfa——shortest path faster algorithm，它可以在o(ke)的時間複雜度內求出源點到其他所有點的最短路徑，可以處理負邊。spfa的實現甚至比dijkstra或者bellman_ford還要簡單：
設dist代表s到i點的當前最短距離，fa代表s到i的當前最短路徑中i點之前的乙個點的編號。開始時dist全部為+∞，只有dist[s]=0，fa全部為0。
維護乙個佇列，裡面存放所有需要進行迭代的點。初始時佇列中只有乙個點s。用乙個布林陣列記錄每個點是否處在佇列中。
每次迭代，取出隊頭的點v，依次列舉從v出發的邊v->u，設邊的長度為len，判斷dist[v]+len是否小於 dist[u]，若小於則改進dist[u]，將fa[u]記為v，並且由於s到u的最短距離變小了，有可能u可以改進其它的點，所以若u不在佇列中，就將它放入隊尾。這樣一直迭代下去直到佇列變空，也就是s到所有的最短距離都確定下來，結束演算法。若乙個點入隊次數超過n，則有負權環。
演算法訓練 最短路
時間限制：1.0s 記憶體限制：256.0mb
問題描述
給定乙個n個頂點，m條邊的有向圖（其中某些邊權可能為負，但保證沒有負環）。請你計算從1號點到其他點的最短路（頂點從1到n編號）。
輸入格式
第一行兩個整數n, m。
接下來的m行，每行有三個整數u, v, l，表示u到v有一條長度為l的邊。
輸出格式
共n-1行，第i行表示1號點到i+1號點的最短路。
樣例輸入
3 31 2 -1
2 3 -1
3 1 2
樣例輸出
-1-2
資料規模與約定
對於10%的資料，n = 2，m = 2。
對於30%的資料，n <= 5，m <= 10。
對於100%的資料，1 <= n <= 20000，1 <= m <= 200000，-10000 <= l <= 10000，保證從任意頂點都能到達其他所有頂點。
題目分析：再記一下spfa的vector版的板子
[cpp]view plain
copy
#include
#include
#include
#include
using
namespace
std;
intconst
max = 200005;
intconst
inf = 1 << 30;
intn, m;
struct
edge
e[max << 2];
struct
node
};
vector vt[max];
intdis[max];
bool
vis[max];
void
spfa(
intv0)
} } }
} int
main()
演算法訓練 最短路
時間限制：1.0s 記憶體限制：256.0mb
問題描述
給定乙個n個頂點，m條邊的有向圖（其中某些邊權可能為負，但保證沒有負環）。請你計算從1號點到其他點的最短路（頂點從1到n編號）。
輸入格式
第一行兩個整數n, m。
接下來的m行，每行有三個整數u, v, l，表示u到v有一條長度為l的邊。
輸出格式
共n-1行，第i行表示1號點到i+1號點的最短路。
樣例輸入
3 31 2 -1
2 3 -1
3 1 2
樣例輸出
-1-2
資料規模與約定
對於10%的資料，n = 2，m = 2。
對於30%的資料，n <= 5，m <= 10。
對於100%的資料，1 <= n <= 20000，1 <= m <= 200000，-10000 <= l <= 10000，保證從任意頂點都能到達其他所有頂點。
題目分析：再記一下spfa的vector版的板子
[cpp]view plain
copy
#include
#include
#include
#include
using
namespace
std;
intconst
max = 200005;
intconst
inf = 1 << 30;
intn, m;
struct
edge
e[max << 2];
struct
node
};
vector vt[max];
intdis[max];
bool
vis[max];
void
spfa(
intv0)
} } }
} int
main()
單元最短路徑 spfa
時間複雜度最差為o mn 與bellman ford相同 適用範圍 負權的單源最短路，或者判斷負環。稀疏圖 稠密圖用dijkstra演算法 可以記錄最短路到目標的路徑。原理 將起點放入佇列，用隊首的點不斷更新所連邊上的點，更新後將未在佇列中的放入佇列，直到隊列為空。若乙個點被放入佇列超過n 點的個數...
最短路徑演算法 SPFA
求最短路徑的演算法有許多種，除了排序外，恐怕是oi界中解決同一類問題演算法最多的了。最熟悉的無疑是dijkstra，接著是bellman ford，它們都可以求出由乙個源點向其他各點的最短路徑 如果我們想要求出每一對頂點之間的最短路徑的話，還可以用floyd warshall。spfa是這篇日誌要寫...
SPFA演算法 最短路徑
只要最短路徑存在，spfa演算法必定能求出最小值，spfa對bellman ford演算法優化的關鍵之處在於意識到 只有那些在前一遍鬆弛中改變了距離估計值的點，才可能引起他們的鄰接點的距離估計值的改變。為什麼隊列為空就不改變了呢？就是因為要到下一點必須經過它的前乙個鄰接點。spfa可以處理負權邊。很...