陣列中的逆序對

2021-08-08 04:20:38 字數 2439 閱讀 2154

在陣列中的兩個數字,如果前面乙個數字大於後面的數字,則這兩個數字組成乙個逆序對。輸入乙個陣列,求出這個陣列中的逆序對的總數p。並將p對1000000007取模的結果輸出。 即輸出p%1000000007

題目保證輸入的陣列中沒有的相同的數字

資料範圍:

對於%50的資料,size<=10^4

對於%75的資料,size<=10^5

對於%100的資料,size<=2*10^5

示例1

1,2,3,4,5,6,7,0

7
思路分析:看到這個題目,我們的第一反應是順序掃瞄整個陣列。沒掃瞄到乙個陣列的時候,逐個比較該數字和它後面的數字的大小。如果後面的數字比它小,則這兩個數字就組成了乙個逆序對。假設陣列中含有n個數字。由於每個數字都要和o(n)這個數字比較,因此這個演算法的時間複雜度為o(n^2)。

我們以陣列為例來分析統計逆序對的過程。每次掃瞄到乙個數字的時候,我們不拿ta和後面的每乙個數字作比較,否則時間複雜度就是o(n^2),因此我們可以考慮先比較兩個相鄰的數字。

(a) 把長度為4的陣列分解成兩個長度為2的子陣列;

(b) 把長度為2的陣列分解成兩個成都為1的子陣列;

(c) 把長度為1的子陣列

合併、排序並統計逆序對

(d) 把長度為2的子陣列合併、排序,並統計逆序對;

在上圖(a)和(b)中,我們先把陣列分解成兩個長度為2的子陣列,再把這兩個子陣列分別拆成兩個長度為1的子陣列。接下來一邊合併相鄰的子陣列,一邊統計逆序對的數目。在第一對長度為1的子陣列、中7大於5,因此(7,5)組成乙個逆序對。同樣在第二對長度為1的子陣列、中也有逆序對(6,4)。由於我們已經統計了這兩對子陣列內部的逆序對,因此需要把這兩對子陣列

排序

如上圖(c)所示,

以免在以後的統計過程中再重複統計。

接下來我們統計兩個長度為2的子陣列子陣列之間的逆序對。合併子陣列並統計逆序對的過程如下圖如下圖所示。

我們先用兩個指標分別指向兩個子陣列的末尾,並每次比較兩個指標指向的數字。如果第乙個子陣列中的數字大於第二個陣列中的數字,則構成逆序對,並且逆序對的數目等於第二個子陣列中剩餘數字的個數,如下圖(a)和(c)所示。如果第乙個陣列的數字小於或等於第二個陣列中的數字,則不構成逆序對,如圖b所示。每一次比較的時候,我們都把較大的數字從後面往前複製到乙個輔助陣列中,確保

輔助陣列(記為copy)中的數字是遞增排序的。在把較大的數字複製到輔助陣列之後,把對應的指標向前移動一位,接下來進行下一輪比較。

過程:先把陣列分割成子陣列,先統計出子陣列內部的逆序對的數目,然後再統計出兩個相鄰子陣列之間的逆序對的數目。在統計逆序對的過程中,還需要對陣列進行排序。如果對排序演算法很熟悉,我們不難發現這個過程實際上就是歸併排序。參考**如下:

class solution

int length=(end-start)/2;

long long left=inversepairscore(copy,data,start,start+length);

long long right=inversepairscore(copy,data,start+length+1,end); 

int i=start+length;

int j=end;

int indexcopy=end;

long long count=0;

while(i>=start&&j>=start+length+1)

else

}for(;i>=start;i--)

copy[indexcopy--]=data[i];

for(;j>=start+length+1;j--)

copy[indexcopy--]=data[j];       

return left+right+count;

}};

**中left=inversepairscore(copy,data,start,start+length)和right=inversepairscore(copy,data,start+length+1,end)呼叫函式時,將copy和data位置互換,等價於:

for(int index=start; index<=end; ++index)   

data[index] = copy[index];

省略了上述**,即子部分的排序過程,因為copy中已經是排好序的陣列了。

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