凸包問題的五種解法

2021-08-14 14:24:46 字數 3796 閱讀 7013

首先,什麼是凸包? 

假設平面上有p0~p12共13個點,過某些點作乙個多邊形,使這個多邊形能把所有點都「包」起來。當這個多邊形是凸多邊形的時候,我們就叫它「凸包」。如下圖: 

然後,什麼是凸包問題? 

我們把這些點放在二維座標系裡面,那麼每個點都能用 (x,y) 來表示。 

現給出點的數目13,和各個點的座標。求構成凸包的點?

時間複雜度:o(n³)。 

思路:兩點確定一條直線,如果剩餘的其它點都在這條直線的同一側,則這兩個點是凸包上的點,否則就不是。 

步驟:將點集裡面的所有點兩兩配對,組成 n(n-1)/2 條直線。

對於每條直線,再檢查剩餘的 (n-2) 個點是否在直線的同一側。

如何判斷乙個點 p3 是在直線 p1p2 的左邊還是右邊呢?(座標:p1(x1,y1),p2(x2,y2),p3(x3,y3))

當上式結果為正時,p3在直線 p1p2 的左側;當結果為負時,p3在直線 p1p2 的右邊。

時間複雜度:o(n㏒n)。 

思路:應用分治法思想,把乙個大問題分成幾個結構相同的子問題,把子問題再分成幾個更小的子問題……。然後我們就能用遞迴的方法,分別求這些子問題的解。最後把每個子問題的解「組裝」成原來大問題的解。 

步驟:把所有的點都放在二維座標系裡面。那麼橫座標最小和最大的兩個點 p1 和 pn 一定是凸包上的點(為什麼呢?用反證法很容易證明,這裡不詳講)。直線 p1pn 把點集分成了兩部分,即 x 軸上面和下面兩部分,分別叫做上包和下包。

對上包:求距離直線 p1pn 最遠的點,即下圖中的點 pmax 。

作直線 p1pmax 、pnpmax,把直線 p1pmax 左側的點當成是上包,把直線 pnpmax 右側的點也當成是上包。

重複步驟 2、3。

對下包也作類似操作。

然而怎麼求距離某直線最遠的點呢?我們還是用到解一中的公式: 

設有乙個點 p3 和直線 p1p2 。(座標:p1(x1,y1),p2(x2,y2),p3(x3,y3)) 

對上式的結果取絕對值,絕對值越大,則距離直線越遠。

注意:在步驟一,如果橫座標最小的點不止乙個,那麼這幾個點都是凸包上的點,此時上包和下包的劃分就有點不同了,需要注意。

時間複雜度:o(nh)。(其中 n 是點的總個數,h 是凸包上的點的個數) 

思路:

注意:找第二個點 p1 時,因為已經找到的只有 p0 乙個點,所以向量只能和水平線作夾角 α,當 α 最小時求得第二個點。

時間複雜度:o(n㏒n) 

思路:graham掃瞄的思想和jarris步進法類似,也是先找到凸包上的乙個點,然後從那個點開始按逆時針方向逐個找凸包上的點,但它不是利用夾角。 

步驟:把所有點放在二維座標系中,則縱座標最小的點一定是凸包上的點,如圖中的p0。

把所有點的座標平移一下,使 p0 作為原點,如上圖。

計算各個點相對於 p0 的幅角 α ,按從小到大的順序對各個點排序。當 α 相同時,距離 p0 比較近的排在前面。例如上圖得到的結果為 p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8。我們由幾何知識可以知道,結果中第乙個點 p1 和最後乙個點 p8 一定是凸包上的點。 

(以上是準備步驟,以下開始求凸包)

以上,我們已經知道了凸包上的第乙個點 p0 和第二個點 p1,我們把它們放在棧裡面。現在從步驟3求得的那個結果裡,把 p1 後面的那個點拿出來做當前點,即 p2 。接下來開始找第三個點:

連線p0和棧頂的那個點,得到直線 l 。看當前點是在直線 l 的右邊還是左邊。如果在直線的右邊就執行步驟5;如果在直線上,或者在直線的左邊就執行步驟6。

如果在右邊,則棧頂的那個元素不是凸包上的點,把棧頂元素出棧。執行步驟4。

當前點是凸包上的點,把它壓入棧,執行步驟7。

檢查當前的點 p2 是不是步驟3那個結果的最後乙個元素。是最後乙個元素的話就結束。如果不是的話就把 p2 後面那個點做當前點,返回步驟4。

最後,棧中的元素就是凸包上的點了。 

以下為用graham掃瞄法動態求解的過程: 

說真的,這個演算法我也還沒有看清。網上的資料也少的可憐,我暫且把網上的解釋截個圖在這裡,往後搞懂以後再回來補上。 

或者有人看懂了的,希望不吝指教,不甚感激! 

以上討論的只是二維的凸包,如果延生為三維、多維的凸包問題呢?如何求解? 

不過首先,二維凸包可以用來解決圍欄問題、城市規劃問題、聚類分析等等。但是三維、多維的凸包可能的使用範疇有哪些?

#include

#include

int g_result[240][2];

/*getresult()實現功能:以座標p0(x1,y1)和pn(x2,y2)為直線,找出pack裡面裡這條直線最遠的點pmax

*並找出直線p0pmax和pmaxpn的上包,進行遞迴。

*注:pack[0][0]存放點的個數,pack[1]開始存放點的座標。

*全域性變數g_result用來存放凸包上的點,即最終所要的答案。同樣g_result[0][0]存放的是已找到的點的個數。

**/void getresult(int pack[240][2], int x1, int y1, int x2, int y2)

if(r > rmax)

}if(rmax <= 0)

}return;

}else

getresult(resultpack,x1,y1,pack[tmax][0],pack[tmax][1]);

getresult(resultpack,pack[tmax][0],pack[tmax][1],x2,y2);

}void main()

else

if(x3 > x2)

}g_result[1][0] = x1;

g_result[1][1] = y1;

g_result[2][0] = x2;

g_result[2][1] = y2;

g_result[0][0] += 2;

getresult(point, x1, y1, x2, y2);

getresult(point, x2, y2, x1, y1);

printf("\n\n構成凸包的點有:\n");

for(i=1;i<=g_result[0][0];i++)

printf("(%d,%d)\n",g_result[i][0],g_result[i][1]);

system("pause");

}

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