網路流(network-flows)是一種模擬水流的解決問題方法，與線性規劃密切相關。網路流的理論和應用在不斷發展。而我們今天要講的就是網路流裡的一種常見問題——最大流問題。
最大流問題(maximum flow problem)，一種組合最優化問題，就是要討論如何充分利用裝置的能力，使得運輸的流量最大，以取得最好的效果。求最大流的標號演算法最早由福特和福克遜與與2023年提出，20世紀50年代福特(ford)、(fulkerson)建立的「網路流理論」，是網路應用的重要組成成分。
網路流圖是一張只有乙個源點和匯點的有向圖，而最大流就是求源點到匯點間的最大水流量，下圖的問題就是乙個最基本，經典的最大流問題
如圖所示，如果我們每次都找出一條增廣路，只要這條增廣路經過匯點，那說明此時水流還可以增加，增加的量為d(d=min(d,c(u,v)-f(u,v))或d=min(d,f(u,v)))。
我們可以這樣理解：對於每一條正向邊，他能新增的最大水流為c(u,v)-f(u,v)。而對於反向邊來說，當正向邊上的水流增多時，反向邊自身的反向水流會減少，而其能減少的最多水量為f(u,v)。由於要保證新增水流之後，所有的f(u,v)都是可行流，所以我們取最小值。
增加之後，我們要更新流量，每條正向邊+d,每條反向邊-d即可。
0;}dinic演算法是網路流最大流的優化演算法之一，每一步對原圖進行分層，然後用dfs求增廣路。時間複雜度是o(n^2*m)，dinic演算法最多被分為n個階段，每個階段包括建層次網路和尋找增廣路兩部分。
dinic演算法的思想是分階段地在層次網路中增廣。它與最短增廣路演算法不同之處是：最短增廣路每個階段執行完一次bfs增廣後，要重新啟動bfs從源點st開始尋找另一條增廣路;而在dinic演算法中，只需一次bfs過程就可以實現多次增廣。
簡單來說，分為下面幾步：
1.在剩餘網路中查詢是否存在從s到t的路徑，同時建分層圖。
分層圖的層數其實就是s到i這個點需要幾步。
2.沿著分層圖多路增廣。
增廣時一定要滿足dis[j]=dis[i]+1。
3.直到沒有s到t的路徑是結束演算法。
鍊錶版
#include
using namespace std;
intread()
const int maxn=10005,maxm=100005;
int n,m,st,en,x,y,c,h,t,ans,use,cnt=0;
int nxt[maxm*2],head[maxn],dis[maxn],q[maxm*6];
struct nodel[maxm*2];
void add(int
x,int
y,int c);
nxt[cnt]=head[x];
head[x]=cnt;
cnt++;
l[cnt]=(node);
nxt[cnt]=head[y];
head[y]=cnt;
cnt++;
}int bfs()
use=nxt[use];}}
return dis[en];
}int dinic(int now,int
x) }
use=nxt[rec];
}return0;}
int main()
while(bfs())
printf("%d",ans);
return
0;}
#include
#include
#include
#include
using
namespace
std;
int read()
const
int maxn=10005,maxm=100005;
int n,m,s,t,x,y,c,ans;
int w[maxm*2],to[maxm*2],cnt;
int l[maxm*5],h,t,dist[maxn];
vector
a[maxn];
bool bfs()}}
return dist[t];
}int find(int now,int x)}}
return0;}
int main()
while(bfs())
printf("%d",ans);
return
0;}
網路最大流入門
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網路流入門 用於最大流的Dinic演算法
posted 2011年05月2日 by comzyh 網路流博大精深 sideman語 感謝whd的大力支援 最早知道網路流的內容便是最大流問題，最大流問題很好理解 解釋一定要通俗 如右圖所示,有乙個管道系統,節點,有向管道,即有向圖一張.1 是源點,有無限的水量,4 是匯點,管道容量如圖所示.試...
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edmonds karp演算法，複雜度o ve 2 思想就是找增廣路，不斷增加流量。在殘量 每條邊上流量和容量的差 圖上找一條每個邊權值都為正的路 可以通過bfs，比dfs效率高 這些邊權值裡的最小值就是這條路可以增加的流量，然後在這條路徑上更新流量。再重複找這樣的路更新流量，直到找不到這樣的路了就...