乙個人寫了
n封不同的信及相應的
n個不同的信封，他把這
n封信全都裝錯了信封，問都裝錯信封的裝法有多少種？
將這n封信從1到n進行編號得到1、2、3……號碼，同理將信封也從1到n進行編號，將n封信與信封錯位的方法記作s。
1.當n=1時，由於只有1封信，所以無論如何都不會錯位，所以此時s=0；
2.當n=2時，只能將1號信裝進2號信封，2號信裝進1號信封，因而s=1；
3.當n=3時有（此處的編號為信的編號，所在位置為信封的編號）：①3 1 2
②2 3 1
故此時s=2；
4.同理可以推出s=9；
……當n較小時我們可以通過和上面一樣列舉得到，，n=6時就已經是256了，列舉時一不小心錯了一種就會翻車，所以當n比較大時列舉就行不通了，接下來就看下遞推數列法：
顯然d1=0
，d2=1
。當n>=3
時，不妨設
n排在了第
k位，其中
k≠n，也就是1<=k<=n-1
。那麼考慮第
n位的情況。
· 當
k排在第
n位時，除了n和
k以外還有
n-2個數，其錯排數為
dn-2
。· 當k
不排在第
n位時，那麼將第
n位重新考慮成乙個新的「第
k位」，這時的包括在內的剩下
n-1個數的每一種錯排，都等價於只有
n-1個數時的錯排（只是其中的第
k位會換成第
n位）。其錯排數為
dn-1
。所以當
n排在第
k位時共有
dn-2
+dn-1
種錯排方法，又k有從
1到n-1共
n-1種取法，我們可以得到：
dn=(n-1)(dn-1+dn-2)
得到遞推的公式之後，我們再通過累加法可以推得全錯位重排的通項公式為：
dn=n!*(1/0!-1/1!+1/2!-1/3!+……+(-1)^n/n!)
然後將其簡化（供參考）可得dn=[n!/e+0.5]，其中e是自然常數，為向下取整。
對於該簡化公式可以通過e的麥克勞林展開式（泰勒公式）推導出來：
e^x =1+x+x^2/2!+x^3/3!+
……+x^n/n!
+ rn(-1)
其中rn(-1)
是餘項，等於
(-1)^(n+1) * e^u / (n+1)!，且u
∈(-1, 0).
所以，d(n) = n! *e^(-1) - (-1)^(n+1) * e^u / (n+1), u
∈(-1, 0).
而|n! rn| =|(-1)^(n+1) * e^u / (n+1)| = e^u / (n+1)
∈(1/[e(n+1)], 1/(n+1))
，可知即使在
n=1時，該餘項（的絕對值）也小於
1/2。
這題還可以通過容斥定理推出：
正整數1,2, 3, ……, n
的全排列有
n! 種，其中第k位是
k的排列有
(n-1)!
種；當k
分別取1, 2, 3, ……, n
時，共有
n*(n-1)!
種排列是至少放對了乙個的，由於所求的是錯排的種數，所以應當減去這些排列；但是此時把同時有兩個數不錯排的排列多排除了一次，應補上；在補上時，把同時有三個數不錯排的排列多補上了一次，應排除；
……；繼續這一過程，得到錯排的排列種數為
d(n) = n! - n!/1! + n!/2! - n!/3! + … + (-1
）^n*n!/n!= ∑(k=2~n) (-1)^k * n! / k!,
這與我們上面通過遞推得到的形式相同！
下面我們就來看一道全錯位重排的題吧~（也是全錯位重排的遞迴**）
題目描述：
在家好冷!
又多冷呢？
大概是零下e度!
為什麼是零下e度呢?
不知道，因為我編不下去了。
求給定乙個數n，求出最接近n!/e的整數
輸入描述:
一行乙個整數n1<=n<=10^8
輸出描述:
一行乙個整數，即題目描述中所求，由於這個數字可能很大，我們只需要知道mod998244353後的結果（出題人負責任地告訴你，這個數字是個質數）
示例1輸入6輸出
265示例2
輸入87
輸出158005593
示例3輸入
16777216
輸出16065816
解析：本題的n!/e就是錯位重排的簡化公式去掉餘項，因而可以通過遞推得到。我一開始是想靠打表過的，最後發現自己的空間一直比題目限制的大1k，看了別人的**之後才發現並不需要打表，就在輸入後面用for即可，emmmm
下面是我的**：
#include using namespace std;
int n;
int main()
else if(n==2)
else
printf("%lld\n",ans);}}
}
全錯位排列
給你看道幾乎一樣的題目 五個編號為1 5的小球放進5個編號為1 5的小盒裡面,全錯位排列 即1不放1,2不放2,依次類推 一共有多少種放法 這是著名的信封問題,很多著名的數學家都研究過 瑞士數學家尤拉按一般情況給出了乙個遞推公式 用a b c 表示寫著n位友人名字的信封,a b c 表示n份相應的寫...
全錯位排序公式推導
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組合數學 全錯位排序公式
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