博弈論學習筆記

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個人實在太懶 所以直接抄啦~~

點球案例

在一次足球比賽罰點球時，罰球隊員可以選擇l,m,r三種不同射門路徑；門將可以選擇撲向左路或者右路（原則上講他也可以守在右路）。lr

l4,-4

9,-9

m6,-6

6,-6

r9,-9

4,-4

該錶表示各自的收益，其中，lr對應的9表示當射手射向左路而門將撲向右路時，射手有90%的概率進球，-9表示門將有90%的概率丟球（10%概率射偏）。其他收益以此類推。

我們假設門將撲向右路的概率是pr，那麼門將撲向左路的概率是pl=1-pr。
那麼，射手
選擇左路的預期收益為 eu1(l,pr) = pl*u1(l,l) + pr*u1(l,l) = (1-pr)*4 + pr*9 = 4 + 5*pr;
選擇中路的預期收益為 eu1(m,pr) = pl*u1(l,l) + pr*u1(l,l) = (1-pr)*6 + pr*6 = 6;
選擇右路的預期收益為 eu1(r,pr) = pl*u1(l,l) + pr*u1(l,l) = (1-pr)*9 + pr*4 = 9 - 5*pr;
結論：

從中路射門都不是乙個最佳策略；不要選擇在任何信念下都不是最佳策略的策略。
定義：參與者i的對策si是對手的策略s-i的最佳對策，當且僅當對於參與者i的所有其他策略si'，u1(si,s-i)>=u1(si',s-i)

商業合作案例
兩個參與者都是公司的股東，他們都持有公司的股份並且平分利潤。
si表示第i**東為公司付出的精力。i=1,2。
總收益為4*(s1 + s2 + b*s1*s2)
所以對於每個參與者，他們能夠獲得的收益是1/2*4*(s1 + s2 + b*s1*s2) = 2*(s1 + s2 + b*s1*s2)
我們現在來考慮參與者1，他的付出是s1^2，s所以他的淨收益為：2*(s1 + s2 + b*s1*s2) - s1^2
為了讓收益最大，對s1求導得出收益導數為0的方程：s1 = 1 + b*s2
同理，對於s2，s2 = 1 + b*s1
我們這裡設b=1/4。s=[1,4]。
這裡看一看到，因為s1的範圍只在1和2之間，所以[0,1]和[3,4]是s1的劣勢策略；

同理，[0,1]和[3,4]是s2的劣勢策略。
所以剔除之後剩下了s1∈[1,2]，s2∈[1,2]這個區間，我們將其放大四倍，發現了和原來一樣的圖。
然後我們就可以接待進行剔除了。
最後得到的點就是方程組：
s1 = 1 + b*s2
s2 = 1 + b*s1
的解。得出：
s1 = s2 = 1/(b-1)
(1/(b-1), 1/(b-1))這個點稱為納什均衡 nash equilibrium
這意味著博弈雙方彼此都不想偏離納什均衡點。在納什均衡點處，雙方都採取彼此的最佳對策。
 
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