博弈論學習筆記

寫在記錄裡面的，乾脆單獨摘出來算了

目錄nim博弈

nim遊戲的規則是這樣的：地上有n堆石子（每堆石子數量小於10000），每人每次可從任意一堆石子裡取出任意多枚石子扔掉，可以取完，不能不取。每次只能從一堆裡取。最後沒石子可取的人就輸了。

公平組合遊戲

公平組合遊戲的定義如下：

大部分的棋類遊戲都不是公平組合遊戲，如西洋棋、中國象棋、圍棋、五子棋等（因為雙方都不能使用對方的棋子）。

為了證明該定理，只需要證明下面三個定理：

有向圖遊戲與 sg 函式

對於狀態\(x\) 和它的所有 \(k\) 個後繼狀態\(y_1,y_2...y_k\) ，定義 \(sg\) 函式：

\[sg(x) = mex\

\]\(sg(x) = 0\)則對應了乙個必敗狀態

對於由\(n\)個有向圖遊戲組成的組合遊戲，設它們的起點分別為 \(s_1,s_2...s_n\)，則有定理：當且僅當 時\(sg(s_1)xorsg(s_2)..xorsg(s_n) \neq 0\)，這個遊戲是先手必勝的。

這一定理被稱作 sg 定理。

巴什博奕

有兩個遊戲者： \(a\) 和 $b $，有 \(n\) 顆石子。

約定：兩人輪流取走石子，每次可取 \(1,2,...,m\) 顆。 \(a\)先取，取走最後一顆石子的人獲勝。

定理：當局面為\(k(m+1)\)時是先手必敗的狀態，如果\(n \% (m+1)=0\)則先手必敗=

取火柴遊戲(nim公升級)

\(nim\)遊戲，不過在先手必勝態下，請構造出乙個方法使後手必敗

在所有石子中取一次，使異或和\(=0\)，要求取得堆最靠前

我們把\(xorsum\)拿來，異或\(a_i\)得到除了\(a_i\)以外的異或和\(xorsum'\)，然後看看\(a_i\)是否可以變成\(xorsum'\)即可

威佐夫博弈

有兩堆各若干個物品，兩個人輪流從任一堆取至少乙個或同時從兩堆中取同樣多的物品，規定每次至少取乙個，多者不限，最後取光者得勝。

總之有結論：

\(a_k , b_k\)為乙個奇異局勢，當且僅當\(a_k=⌊k×25+1⌋,b_k=a_k+k\)

即：先手必敗當且僅當

\[\left \lfloor (y-x)\times \frac 2 \right\rfloor= x

\]斐波拉契博弈（fibonacci nim）

有一堆個數為 n 的石子， a,b輪流取石子，滿足：

zeckendorf定理（齊肯多夫定理）：任何正整數可以表示為若干個不連續的fibonacci數之和

結論：先手必敗殘餘石子為斐波拉契數

good luck in cet-4 everybody!(sg函式與規律)

給乙個遞推sg函式的模板，複雜度\(o(n^2)\)

sg[0] = 0;	

for(int i=1;i<=1000;i++)

cf1194d 1-2-k game

取石子類，取完勝，局面為0的為先手必敗 故\(sg(0) =0\)

打表發現sg函式有以下特點

\(k = 3\),迴圈節為\(0 1 2 3\) ，（從0開始

\(k = 其他數\)，迴圈節為$ 0 1 2$ （從0開始

題面給出\(k >= 3\)

然後我就wa了

發現\(k\)為\(3\)的倍數有不同的規律

\(k = 6\)時，迴圈節是\(6\)，前面都是\(012\)，第\(6\)個是\(3\)

\(k = 9\)時，迴圈節是\(9\)，前面都是\(012\)，第\(9\)個是\(3\)

先模乙個\(k+1\)，如果為\(k\)就是\(3\)，否則就是再模乙個\(3\)

移棋子遊戲

典型的有向圖遊戲

多個棋子就是多個有向圖遊戲的和

\(dfs\)求\(sg\)函式，出度為\(0\)的\(sg = 0\)

nim遊戲+取石子數限制

cao居然被這個題搞到

由於石子數被\(s\) 集合限制了，只能特定的求sg函式

然後把各個石子堆的sg值異或起來

給出第一步方案這個稍微有點把我搞到

由於選石子是在石子這個實際意義上的，而異或和是求的sg值的，我們要分開算

列舉當前堆取的\(s\)集合中的那個石子數，然後像取火柴遊戲一樣，得到乙個方案

for(int j=1;j<=k;j++)

}

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eg hdu2149，2156 描述 只有一堆n個石子，每次能取1到m個物品，a先手，問誰能先取完石子 思路 這種問題的關鍵就在於能否取到關鍵點，比如，這裡只能能取到倒數m 2個石子，留下m 1個石子，則後者就必敗。結論 如果初始石子是 m 1 的倍數，則先手必敗，否則先手必勝。eg hdu2177...

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