矩陣鏈乘 動態規劃

//普通矩陣相乘

#define row_a 2
#define col_a 2
#define col_b 3
void matrix_mul(int mata[row_a][col_a], int matb[2][col_b], int c[row_a][col_b])}}
}

利用矩陣相乘的定義計算，cij = ∑ aik * bkj （k = 1……a.col）。

需要注意的是aik 和 bhj 規模的兩個矩陣相乘後，矩陣規模會變為 cij，而兩個矩陣相乘的代價是i * j* k.

之後的所有演算法都會用到矩陣的規模和代價。

約定 ai……j 表示矩陣ai 一直乘到 aj 的乙個矩陣鏈

假定我已經知道在第k個位置劃分後代價最優

給定可獲得最優解的選擇後，確定選擇會產生那些子問題，（產生ai……k 和 ak+1……..j 兩個矩陣鏈乘的子問題），以及如何刻畫子問題解空間

剪下貼上技術證明，原問題的最優解包含子問題的最優解。因為如果子問題的解不是最優解，那麼把子問題的最優解代入原問題中就能得到更優的原問題解，所以證明了子問題的解也必定是最優的。

原問題產生的兩個子問題解空間形式不太一樣，例如a1……k ，ak+1…….j ，後者的形式和原問題a1…….j的形式不同，必須允許子問題i，j均可變，所以用m[i][j]記錄解空間.

原問題的最優解涉及多少個子問題？

在確定最優解使用那些子問題時，需要考察多少種選擇？

答案是：最優解使用兩個子問題，需要考察j-i種選擇。

兩個子問題是ai……k ,和ak+1…….j 各自的最優解，還要考察k在i 到 j 之間取值最優的。

m[i][j] 表示ai….j個矩陣相乘的最小代價，最優解就是m[1][n]——即從第乙個矩陣乘到最後乙個矩陣的代價。

i = j 時，就是乙個矩陣乘自己，代價為0

i < j 時，在k處劃分並且考察所有k的選擇，m[i][j] = min（m[i][k] +m[k+1][j] + pi-1 * pk *pj）(k = i…….j-1)

上面是求解動歸的最重要部分，基本可以直接寫出遞迴的方法了↓

//矩陣規模，例如a1=30*35，a2=35*15

int p = ;
#define n 6 //矩陣長度
int m[n+1][n+1] = ;
int s[n + 1][n + 1] = ;
//直接遞迴法,i=1,j=6
int recursive(int p, int i, int j)
m[i][j] = _crt_int_max;
for (int k = i; k < j; k++) 
}return m[i][j];
}

//帶備忘的遞迴

void memorize(int m[n + 1][n + 1]) 
}}int lookup(int p, int i, int j)
if (i == j) 
for (int k = i; k < j; k++) 
}return m[i][j];
}

而且自底向上需要求出所有的子問題解，m[i][j]合法解空間會被填滿，所以迴圈考慮每個長度，每個起始結束點的矩陣鏈，最後返回最優代價是m[1][n].

//自底向上

int matrix_order(int p)
//設計求解順序，按長度
for (int len = 2; len <= n; len++) }}
}return m[1][n];
}//構造最優解
void print(int s[n+1][n+1], int i, int j)
else 
}

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