前面還是圖和網路的內容，感覺與自己所求相差較多，可以參考：
第十四課時：正交向量與子空間
本文講解什麼是向量的正交，什麼是子空間的正交，什麼是基的正交。
正交向量
在n維空間中，向量之間的夾角是90度
判斷兩個向量x,
y x,y
是否正交，求乘積xt
y xty
是否等於0，即如果xt
y=0 xty
=0，則x,y正交。
零向量與任何向量都正交。
正交子空間
如果子空間s與子空間t正交，那麼s中的每個向量都和t中的每個向量正交。
如果兩個子空間正交，那麼他們必定不會交與某個非零向量。
行空間和零空間是將整個n維空間一分為二的兩個相互正交的子空間，兩個子空間的維數和為n，稱為n維空間裡面的正交補（行空間的正交補包含與之正交的零空間的所有向量）。若a
x=0 ax=
0存在零空間，則零空間的向量與a的乘ax=0，則表示a的各行乘以x向量得到零向量，說明a的行向量與x是正交的，但是是否a的行空間(行空間包含矩陣中的行向量以及這些行向量的線性組合)裡所有的向量都與x正交呢？很明顯x正交於行向量的線性組合。
列空間和左零空間是將整個m維空間一分為二的兩個相互正交的子空間，兩個子空間的維數和為m，稱為m維空間裡面的正交補。
以三維空間為例，n=3，矩陣a如果行空間是一維的一條直線，r=1，那麼dimn(a)=2，零空間就是垂直於這條直線的乙個平面。實際上向量（1 2 5）是這個平面的法向量。
可以把線性代數的內容分為幾個部分：
1）第一部分是線性代數的基本定理，表明四個基本子空間之間的關係，重點是研究維數；
2）第二部分的重點是在已知維數的情況下研究它們的正交性；
3）第三部分是關於它們的基，即正交基。
如何求ax=b 乙個無解的方程組的解，即當ax=b無解時（b不在a的列空間），如何去解這個方程組。
對於長方矩陣（很多情況下是無解的，因為b很可能不能由a的列向量線性組合得到），有時候a的方程很多，未知數很少，這時候有些方程可能得到的結果是有很大誤差的，即壞資料，即b中有一部分是壞資料，其實求出方程的解只需要一小部分方程就夠了，需要做的是把這些」壞資料「篩選出來，這是線性代數需要解決的問題，如何去求這個解，最優解是什麼。
用代數的語言來描述這個問題：我們得到一些方程（這些方程無解），如何求出它們的最優解？一種方法是不斷去掉一些方程，直到剩下乙個可逆的方陣，然後求出它的解。但這種方法不好判斷。
更好的方法是：矩陣
a a
是m×n
' role="presentation" style="position: relative;">m×n
m×n的長方矩陣，那麼at
a ata
結果就是乙個n×
n n×n
的對稱方陣。因此，當ax=ba
x=b這是乙個壞方程時，只需要把壞方程兩側乘以a轉置，就得到好方程。
注意變換之後x』是與ax=b是不同的，我們希望新的方程組是可解的，而且這是最優解。對於
ata ata
，它不一定是可逆的，at
a ata
的秩等於
a a
的秩，因此at
a' role="presentation" style="position: relative;">ata
ata的零空間等於a的零空間。(下節證明)
n(at
a ata
)=n(a
) n(a
)rank(at
a ata
)=rank(
a a
)因此可得，當且僅當a的零空間裡面只有零向量（a的各列線性無關）時，at
a' role="presentation" style="position: relative;">ata
ata可逆。
正交向量與子空間
關於向量正交 orthogonality vector 我們都已不陌生，正交是垂直的另一種說法，兩個向量正交意味著這兩個向量的夾角為90度，如果要判斷兩個向量是否正交，只需對向量作點乘 dot product 相加，即內積，等於0就是正交的，如xty 0，則x和y是正交的，如果x是零向量，y任意或者...
正交向量與子空間
關於向量正交 orthogonality vector 我們都已不陌生，正交是垂直的另一種說法，兩個向量正交意味著這兩個向量的夾角為90度，如果要判斷兩個向量是否正交，只需對向量作點乘 dot product 相加，即內積，等於0就是正交的，如 將正交從向量推廣到子空間，定義子空間s和子空間t，如果...
線性代數之 正交向量與子空間
1.正交子空間 兩個向量垂直，意味著 vtw 0v tw 0 vtw 0。兩個子空間 v boldsymbol v v 和 w boldsymbol w w 是正交的，如果v boldsymbol v v 中的每個向量 v vv 都垂直於 w boldsymbol w w 中的每個向量 www。想象...