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空間條件
空間條件
空間條件
空間線性空間定義了範數–>
賦範線性空間滿足完備性–>
巴拿赫空間
賦範線性空間定義了角度–>
內積空間滿足完備性–>
希爾伯特空間
從常見的三維空間出發，進行**：
三維空間的特點：
由無窮多位置點組成
這些點之間存在相對關係
可以在空間中定義長度、角度
空間中可以容納運動，這裡的運動是從一點到一點的變換（或者躍遷），並不是微積分上的連續運動
抽象出空間的本質：
空間的本質是：空間容納運動（變換）
空間與變換：空間是容納運動的乙個物件集合，而變換規定了對應空間的運動（變換）
拓展到線性空間
由空間的本質提出：
問題一：線性空間中的物件是什麼，有什麼共同點？
問題二：線性空間的運動（線性變換）如何表示？
問題一答案：線性空間中的物件，即空間中的有向線段，即就是向量，可通過選取一組基，並通過座標表示的方法表達。
問題二答案：在選定一組基後，使用矩陣來描述該空間中任何乙個運動（線性變換）。
一句話：矩陣是線性空間中的線性變換的乙個描述。在乙個線性空間中，只要我們選定一組基，那麼對於任何乙個線性變換，都能夠用乙個確定的矩陣來加以描述
那麼，同乙個線性變換，在不同的基下，就會對應不同的描述矩陣
理解：注意區別線性變換和線性變換的描述
比喻：線性變換為乙個人，線性變換的描述為對這個人拍照。人不會變，但是拍照的角度會千差萬別，角度的變化對應基選擇的變化。
問題：那麼給定兩個矩陣，是否能知道這兩個矩陣是不是對同乙個線性變換的描述呢？
答案：肯定的,若矩陣a與b是同乙個線性變換的兩個不同的描述，那麼一定能找到乙個非奇異矩陣，使得a、b之間滿足：
a =p
−1bp
a=p^bp
a=p−1b
p即，相似矩陣的定義。所謂相似矩陣，就是同乙個線性變換的不同的描述矩陣。
同乙個線性變換，在不同的基（座標系）下，對這個線性變化的描述，表現為不同的矩陣。但是本質相同，所以本徵值相同
這裡，同乙個線性變化的不同的描述矩陣中，總會有性質較好的描述矩陣。如同，不同的角度拍攝乙個人，總有美醜之分，不然也不會有著名的斜上方45度。
特殊性質：矩陣不僅可以作為線性變換的描述，而且可以作為一組基(乙個座標系)的描述。
用作變換的矩陣，不僅可以把線性空間中的乙個點變換到另乙個點去，而且也可以把線性空間中的一組基（乙個座標系）變換到另一組基（乙個座標系）上去。
向量形如：a=[
a1,a
2,..
.]−1
a=[a_,a_,...]^}
a=[a1
,a2
,...
]−1
如果一組向量(矩陣)是線性無關的，那麼他們就可以成為度量這個線性空間的一組基，每個向量都躺在乙個座標軸上，成為那根座標軸上的基本度量單位。
所以，解釋了上面矩陣的特殊性質，矩陣既可以描述變換，也可以描述座標系。
矩陣乘法表示施加變換（左乘）：
1.向量的變換
2.座標系的變換
m a=
bma=b
ma=b
其中，m
mm為矩陣，a
aa，b
bb為向量。
矩陣m
mm從變換的角度看：向量a
aa經過矩陣m所描述的線性變換，變成了向量bbb。
矩陣m
mm從座標系描述的角度看：矩陣m描述了乙個座標系，乙個向量在座標系m
mm下度量成為向量b
bb，在座標系i
ii的度量下，成為向量a
aa。i
ii為單位陣。
等號代表這兩種描述是等價的。
對座標系施加變換的方法，就是讓表示那個座標系的矩陣與表示那個變換的矩陣相乘。
從向量變換的角度看座標系變換，對座標系n施加m變換，就是把組成座標系n中的每個向量施加m變換。
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