數論之快速冪

一、快速冪是什麼？

如果要計算a的b次方，在學習快速冪之前我的第一想法一定是直接暴力求解，這種方法雖然直接，但是卻有很多缺點，如演算法複雜度過高以及時間複雜度過高，當資料太大時容易造成資料的漏出，為了解決這種煩惱，快速冪就此誕生

以下是快速冪的模板

#include using namespace std;
typedef long long ll;
//遞迴寫法
ll pow_mod(ll a,ll b)//計算a的b次方
//迴圈寫法
ll pow_mod(ll a,ll b)//計算a的b次方
a=a*a;
b/=2;
}return ret;
}

從偽**中我們可以總結出快速冪的思想，其實就是將a的b次方轉換為a的平方的b/2次方，然後依次遞迴直到b為零時。值得注意的是當b為奇數時，應在原本的基礎上在乘一次a，因為計算機計算b/2時所得的結果是(b-1)/2，因此在計算快速冪時，我們少乘了一次a。

除了遞迴寫法與迴圈寫法以外，還有一種寫法是時下最為流行的寫法，及二進位制位運算寫法，以下是偽**

ll pow_mod(ll a,ll b)//計算a的b次方
return ret;
}

雖然我們知道了快速冪如何使用，但是在一般情況下acm比賽時是沒有直接只計算快速冪的，最為平常的就是快速冪取模。

在理解掌握快速冪取模之前我們要先了解有關取模的知識點

a的b次方 mod c=（a mod c）的b次方 mod c；

(a*b) mod c=[(a mod c)*(b mod c)] mod c;

a的b次方 mod c=【(a的平方)的b/2次方】 mod c=【(a的平方) mod c】的b/2次方 mod c（b是偶數）

a的b次方 mod c=【(a的平方)的b/2次方*a】 mod c=【(a的平方) mod c*a】的b/2次方 mod c（b是奇數）

有了上述公式後，我們就可以按照快速冪的思想來計算快速冪取模，無非是在計算多次方式加上取模運算罷了，以下是偽**

#include using namespace std;
typedf long long ll;
//迴圈寫法
ll pow_mod(ll a,ll b,ll c)
return ret;
}//遞迴寫法
ll pow_mod(ll a,ll b,ll c)
//位運算寫法
ll pow_mod(ll a,ll b,ll c)
return ret;
}

學習了快速冪的思想後，我發現快速冪可以拓展出快速乘，因為思路是一樣的，所以只將二進位制寫法的偽**寫一下

ll mul(ll a,ll b,ll p)//快速乘，計算a*b%p
return ret;
}

在訓練的最後，我又學習到了乙個十分神奇的演算法，叫做矩陣快速冪（其實也是快速冪的拓展）

矩陣快速冪的應用一般在計算有一定規律的數列，如斐波那契數列f(n)=f(n-1)+f(n-2)，可以通過構造矩陣來進行矩陣的快速冪乘，從而得到f(n)的值

[ f(n),f(n-1) ]=[ f(n-1),f(n-2) ]*a a[0][0]=1,a[0][1]=1,a[1][0]=1,a[1][1]=0;

下面我們以斐波那契數列為例來計算f(n)的值

//因為數值太大所以答案對100000007取模

#include #define mod 100000007

using namespace std;

const int n=2;

typedef long long ll;

//構造矩陣結構體

struct matrix

};matrix operator*(matrix x,matrix y)

return ans.m[0][1]%mod;

}int main()

{ int n;

cin>>n;

cout《今天就學習了這麼多，就先到這裡吧。

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