尤拉函式及其證明

2021-08-22 08:41:17 字數 1316 閱讀 4145

請思考以下問題:

任意給定正整數n,請問在小於等於n的正整數之中,有多少個與n構成互質關係?(比如,在1到8之中,有多少個數與8構成互質關係?)

計算這個值的方法就叫做尤拉函式,以φ(n)表示。在1到8之中,與8形成互質關係的是1、3、5、7,所以 φ(n) = 4。

φ(n) 的計算方法並不複雜,但是為了得到最後那個公式,需要一步步討論。

第一種情況

如果n=1,則 φ(1) = 1 。因為1與任何數(包括自身)都構成互質關係。

第二種情況

如果n是質數,則 φ(n)=n-1 。因為質數與小於它的每乙個數,都構成互質關係。比如5與1、2、3、4都構成互質關係。

第三種情況

如果n是質數的某乙個次方,即 n = p^k (p為質數,k為大於等於1的整數),則

比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。

這是因為只有當乙個數不包含質數p,才可能與n互質。而包含質數p的數一共有p^(k-1)個,即1×p、2×p、3×p、…、p^(k-1)×p,把它們去除,剩下的就是與n互質的數。

上面的式子還可以寫成下面的形式:

可以看出,上面的第二種情況是 k=1 時的特例。

第四種情況

如果n可以分解成兩個互質的整數之積,

n = p1 × p2

φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)

即積的尤拉函式等於各個因子的尤拉函式之積。比如,φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。

這一條的證明要用到「中國剩餘定理」,這裡就不展開了,只簡單說一下思路:如果a與p1互質(a第五種情況

因為任意乙個大於1的正整數,都可以寫成一系列質數的積。

根據第4條的結論,得到

再根據第3條的結論,得到

也就等於

這就是尤拉函式的通用計算公式。比如,1323的尤拉函式,計算過程如下:

尤拉函式及其證明

請思考以下問題 任意給定正整數n,請問在小於等於n的正整數之中,有多少個與n構成互質關係?比如,在1到8之中,有多少個數與8構成互質關係?計算這個值的方法就叫做尤拉函式,以 n 表示。在1到8之中,與8形成互質關係的是1 3 5 7,所以 n 4。n 的計算方法並不複雜,但是為了得到最後那個公式,需...

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