在討論向量的時候，我們可以知道乙個二維向量的兩個分量代表乙個箭頭的終點座標。但是我們還有一種更有趣的方式來看這些分量。
先看下面這個向量
在xy座標系中，有兩個非常特殊的向量，分別就是在x軸正方向上的單位向量 i
^\hat
i^和在y軸正方向上的單位向量 j
^\hat
j^ ，我們稱這些特殊的向量為基向量。
這樣一來，我們可以認為乙個向量就是由這個向量的分量分別乘以基向量再相加的結果，也就是所謂的縮放向量再相加。
上面這裡就是使用到了向量的兩個基本運算，向量數乘和向量加法。然後我們可以擴充套件一下，如果我們選擇兩個新向量，然後將這兩個新向量作為我們的基向量。然後使用這兩個基向量來嘗試表示其他向量。
結果是，我們能通過這兩個向量來表示其他任何的向量。當然，使用 v
⃗\vec
v 和 w
⃗\vec
w 作為基向量和使用 i
^\hat
i^和 j
^\hat
j^ 作為基向量表示同乙個向量是不同的。所以向量是依賴於基向量的，如果基向量不同，那同乙個向量的各個分量也不會相同。
兩個數乘向量的和就是這兩個向量的線性組合，從上面給的**中我們可以直觀的看出，v
⃗\vec
v和w⃗
\vec
w的所有線性組合，就是這個二維空間中的所有二維向量。這裡v
⃗\vec
v和w⃗
\vec
w的張成空間就是這兩個向量的所有線性組合的集合，也就是整個二維空間中的所有向量。如果把向量看作點，那v
⃗\vec
v和w⃗
\vec
w的張成空間就是乙個平面。
第三種情況就是如果，兩個向量本身就是零向量，那麼這兩個零向量的張成空間就是乙個點。
擴充套件到三維空間中，兩個三維向量的張成空間可能是三維空間中的一張平面，一條線或乙個點。
現在假設有兩個三維向量的張成空間是三維空間中的乙個平面，我們新增乙個向量，如果這個向量剛好落在這個平面中，那這三個向量的張成空間還是乙個平面。
上面圖中引入第三個向量並沒有讓我們的張成空間發生改變，因為新新增的向量已經處於原來的張成空間中。也就是說，如果我們新增屬於已有向量的張成空間中的向量，那麼這些向量的張成空間並沒有改變。只有當新向量不存在於原來的張成空間中，新的張成空間才會擴充套件。
對於上面這些，第三個向量落在前兩個向量的張成空間，或者乙個向量與另乙個向量共線，一組向量中至少有乙個向量是多餘的，它對張成空間沒有貢獻。我們稱這組向量是線性相關的，即其中存在乙個向量可由其餘向量的線性組合來表示。
如果一組向量中的每乙個向量都為張成空間新增了維度，那麼這些向量就是線性無關的。
最後，我們來看看基的嚴格定義，向量空間的一組基是張成該空間的乙個線性無關向量集。回顧一下這篇文章講的內容，思考一下為什麼這個定義是合乎情理的。
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