數學需要的不是天賦，而是少量的自由想象，但相信太過自由又會陷入瘋狂。-----a.k.羅傑斯
1.在xy座標系中，有兩個非常特別的向量，乙個指向正右方，長度為1，通常被稱為「i帽」或者x方向的單位向量，另乙個指向正上方，長度為1，通常被稱為「j帽」或者y方向的單位向量。
2.現在相信向量（3，-2）的x座標是乙個標量，它將i帽拉伸為原來的3倍，y座標也是乙個標量，它將j帽反向並拉伸為原來的2倍。從這個角度去看，這個向量實際上是兩個經過縮放的向量的和。
3.「縮放向量並且相加」這一概念至關重要。被縮放的兩個向量i帽和j帽也有特殊的名稱。它們合起來被稱為座標系的基。這就是再說，當你把座標看作標量時，基向量實際上就是這些標量所縮放的物件。
4.我們根據這兩個特殊的基向量構建座標系時，我們完全可以選擇不同的基向量，獲得乙個完全合理的座標系，所以每當我們用數字描述向量時，它都依賴於我們正在使用的基。
5.兩個向量標量乘法之和的結果被稱為這兩個向量的線性組合。
6.為什麼成為線性呢？如果固定其中乙個標量，讓另乙個標量自由變化，所產生的向量的重點會描述出一條直線。
7.如果你讓兩個標量同時自由變化，考慮所有可能得到的向量，有兩種可能，大部分情況下，對於一對初始向量，你能到達平面中的每乙個點。但是也有糟糕的情況，當兩個初始向量恰好共線時，所產生的向量的重點被限制在一條過原點的直線上。實際上還有第三種可能，兩個向量都是零向量，那就乖乖呆在原點。
8.所有可以表示為定向量線性組合的向量集合，被稱為給定向量張成的空間。
9.對於大部分二維向量來說，它們張成的空間是所有二維向量的集合，但當共線時，它們張成的空間就是終點落在一條直線上的向量的額集合。
1.想象將所有二維向量填滿平面時，你會覺得非常擁擠，為了對付這種情況，通常我們就用向量的重點代表該向量，而像以往一樣，它的起點仍舊位於原點。
2.單個向量看作箭頭，多個向量看作點。
1.舉個例子，在三維空間中取兩個指向不同方向的向量，他們張成的空間是什麼呢？這兩個向量張成的空間就是他們所有可能的線性組合，也就是縮放再相加之後所有可能得到的向量。
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