OI學習筆記之資料結構 樹狀陣列

樹狀陣列複雜度 o(logn).

樹狀陣列是一種維護字首和，區間最大值，區間最小值，區間異或和等滿**換律的東西的資料結構，其支援單點修改和區間查詢。

樹狀陣列其實並不算一棵樹，它是由陣列+二進位制的操作實現的，只是在實現的過程中我們借助了樹形結構的思想，因此樹狀陣列並不需要建樹等操作。

一，認識樹狀陣列

樹狀陣列也是一棵二叉樹，長相類似於一棵偏沉的線段樹，其中最下面一排陣列a代表給定的序列a1,a2…an,c1,c2…為節點編號，其中每個c都維護著若干個連續的a陣列的最大值或和或最小值等，那麼具體每個節點維護幾個a陣列呢？是編號是幾就維護幾個嗎？從圖中來看，顯然不是。

仔細分析樹狀陣列的結構，我們發現c[1],維護的是乙個元素a[1],c[2]維護著兩個元素a[1],a[2],c[4]維護著四個元素a[1],a[2],a[3],a[4]…

c[1] = a[1];

c[2] = a[1] + a[2];

c[3] = a[3];

c[4] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4];

c[5] = a[5];

c[6] = a[5] + a[6];

c[7] = a[7];

c[8] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4] + a[5] + a[6] + a[7] + a[8];

我們發現每個樹節點維護的節點個數都是2^k 個。那麼如何求到底是多少呢，就是如何求2^k 的值呢，再仔細分析發現，1的二進位制表示是000001，它維護的是2^0 個元素，2的二進位制表示是0000010，它維護的是2^1 個元素…，我們發現對於第i號元素維護的陣列a的個數就是2^k個（其中k等於其二進位制表示末尾零的個數）

那麼如何快速求出2^k的值呢，每次都把它轉化成二進位制再列舉末尾零的個數麼，顯然有點慢，也很麻煩qwq.

為此，我們引入乙個叫做lowbit的神奇操作，使得 第i號元素所維護的個數是lowbit(i)個，即對於第i號元素2k=lowbit(i),(*注意是2k=lowbit(i),不是k=lowbit(i)!)下面我們來詳解一下lowbit;

lowbit(x)= x & (-x) ; //背過就好qwq

這裡利用的負數的儲存特性，負數是以補碼儲存的，對於整數運算 x&(-x)有

當x為0時，即 0 & 0，結果為0；

當x為奇數時，最後乙個位元位為1，取反加1沒有進製，故x和-x除最後一位外前面的位正好相反，按位與結果為0。結果為1。

當x為偶數，且為2的m次方時，x的二進位制表示中只有一位是1（從右往左的第m+1位），其右邊有m位0，故x取反加1後，從右到左第有m個0，第m+1位及其左邊全是1。這樣，x& (-x) 得到的就是x。

當x為偶數，卻不為2的m次方的形式時，可以寫作x= y * (2^k )。其中，y的最低位為1。實際上就是把x用乙個奇數左移k位來表示。這時，x的二進位制表示最右邊有k個0，從右往左第k+1位為1。當對x取反時，最右邊的k位0變成1，第k+1位變為0；再加1，最右邊的k位就又變成了0，第k+1位因為進製的關係變成了1。左邊的位因為沒有進製，正好和x原來對應的位上的值相反。二者按位與，得到：第k+1位上為1，左邊右邊都為0。結果為2^k。

總結一下：x&(-x)，當x為0時結果為0；x為奇數時，結果為1；x為偶數時，結果為x中2的最大次方的因子。

//如果看不懂真的背過就好qwq

二，樹狀陣列的基礎操作

1，單點修改：

如果我們想修改數列的某個值怎麼辦呢？比如我們想修改a[1]。

我們再仔細觀察一下這張圖，會發現，如果修改a[1]，只會對c[1],c[2],c[4],c[8]產生影響，就是其父節點，父節點的父節點…一直到樹根…，所以我們只需要修改被影響節點的值，其他不被影響的節點的值不需要被修改，但樹狀陣列是一種類似於樹結構的資料結構，真實操作過程中運用了樹的思想，但並沒有建樹等操作。那我們怎麼查詢葉子節點並一路修改至根節點呢，我們發現葉子節點就是我們要修改的a[i]，它的第乙個父節點一定是c[i],這個…沒什麼好解釋的，c[i]的父節點是c[i]+lowbit（i）,仔細發現下…我們發現每個c節點加上其維護的a節點的數量，就是其父節點的編號，這是樹狀陣列的乙個基本性質，其維護a節點的數量在前文已經說過是lowbit(x)。

code:

inline
void
update
(int k,
int v)
}

code：

inline
void
getsum
(int x)
}

#include

#include
#include
#include
using
namespace std;
typedef
long
long ll;
ll tree[
2333
],n,m;
inline
intlowbit
(int x)
inline
void
update
(int x,
int v)
return;}
inline ll getsum
(int x)
return ans;
}int
main()
for(
int i=
1;i<=m;i++
)else
}return0;
}